Minsta gemensamma nämnare

I detta avsnitt ska vi bekanta oss med primtalsfaktorisering och sammansatta tal.

Vi går vidare igenom delbarhetsreglerna som är användbara om vi vill förkorta ett bråk eller primtalsfaktorisera ett tal. Delbarhetsreglerna talar om för oss huruvida ett heltal är jämnt delbart med ett annat heltal.
Sist går vi igenom hur man får fram minsta gemensamma nämnare (MGN) som behövs när vi ska addera eller subtrahera bråk.

Primtalsfaktorisering

Alla positiva heltal kan skrivas om som en produkt av \(1\) och talet självt. Exempelvis kan vi skriva om talet \(42\) som

$$42=1\cdot42$$

Talet \(42\) kan också delas in i heltalsfaktorer som

\(42=2\cdot21\)   eller/och   \(42=2\cdot3\cdot7\)

Talen \(2\), \(3\) och \(7\) kan dock inte delas in i fler heltalsfaktorer. De kallas primtal.

Ett primtal \(p\) är ett heltal större än ett \((p>1)\) som inte har några andra positiva delare än \(1\) och sig själv. Primtal kan endast heltalsfaktoriseras som:

$$p=1\cdot p$$

De fem första primtalen är \(2\), \(3\), \(5\), \(7\) och \(11\).

Heltal \(s\) större än noll som kan heltalsfaktoriseras med hjälp av andra tal än \(s\) och \(1\) kallar vi för sammansatta tal, eftersom de kan skrivas som produkten av minst två primtalsfaktorer. Talet \(42\), som vi inledde detta avsnitt med, är ett sammansatt tal, eftersom vi kan skriva det som produkten av primtalsfaktorerna \(2\), \(3\), och \(7\).
\(17\) är ett primtal, eftersom vi inte kan primtalsfaktorisera \(17\), medan till exempel \(12\) är ett sammansatt tal, eftersom vi kan primtalsfaktorisera det, vilket vi gör så här:

$$12=2\cdot2\cdot3$$

Talet \(12\) är nu primtalsfaktoriserat - det är skrivet som en produkt av primtalsfaktorerna \(2\), \(2\) och \(3\).

Delbarhet

Om vi vill förkorta ett bråk eller primtalsfaktorisera ett tal är det smidigt att känna till delbarhetsreglerna som talar om för oss huruvida ett heltal är jämnt delbart med ett annat heltal. Ett primtal är endast delbart med sig själv och \(1\).
Ett heltal \(a\) är delbart med ett heltal \(b\neq0\) om divisionen \(\frac{a}{b}\) blir ett heltal \(c\), det vill säga att det inte blir någon rest. Med andra ord finns det ett heltal \(c\) sådant att

$$\frac{a}{b}=c$$

Andra sätt att uttrycka detta är att divisionen går jämnt upp, att \(a\) är jämnt delbart med \(b\).

Delbarhetsregler för några vanligt förekommande tal

Det existerar speciella regler, villkor, för huruvida ett tal är jämnt delbart med ett annat tal. Det kan vara bra att komma ihåg de som visas nedan, eftersom det kan underlätta när man ska ta fram minsta gemensamma nämnare och förkorta bråktal.

Talet \(36\) kan delas upp i primtalsfaktorerna \(3\cdot12=3\cdot2\cdot6=2\cdot3\cdot3\cdot2\)

Produkterna av dessa tal \(2\cdot3=6\) och \(3\cdot3=9\) delar också \(36\).

\(\frac{36}{6}=6\,\,\,\texttt{och}\,\,\,\frac{36}{9}=4\)

Primtalsfaktorerna i detta fall till \(36=2\cdot3\cdot3\cdot2\) och deras produkter \(6\) och \(9\) kan dela \(36\) i heltal.

En generell regel är att ett heltal alltid är delbart med primtalsfaktorerna och deras produkter.

Ibland är inte ett tal jämnt eller siffersumman delbar med \(3\) eller slutar på \(0\) eller \(5\), d.v.s. ingen av de delningsregler som syns i tabellen ovan kan användas.

Vi tar till exempel talet \(209\). Det är inte ett jämt tal, siffersumman är \(2+0+9=11\) och därför är \(209\) inte delbar med \(3\) och \(209\) slutar inte på \(0\) eller \(5\).
Då får man prova sig fram. Det är ingen idé att försöka med \(4\) eller \(6\) då de är produkter av \(2\cdot2\) och \(2\cdot3\). Vi får prova med \(7\) vilket ger \(\frac{209}{7}\approx29,9\) det blev ett decimaltal.

Det är ingen idé att prova med \(8\) eller \(9\) eller \(10\) då de är produkter av de primtal som vi redan uteslutet. Vi får prova med \(11\) vilket ger \(\frac{209}{11}=19\) som är ett primtal.

Vi kom därmed fram till att \(209=11\cdot19\).

Svaret är att \(209\) är delbart med primtalsfaktorerna \(11\) och \(19\).

Minsta gemensamma nämnare (MGN)

När man har två bråktal som t. ex. ska adderas så behöver nämnaren vara lika innan de kan adderas. Man kan alltid hitta en gemensam nämnare genom att multiplicera nämnarna med varandra. Om vi har \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\) så kan man få fram en gemensam nämnare genom att ta \(2\cdot3=6\). När vi ska göra \(6\) som minsta gemensamma nämnare så får vi multiplicera täljare och nämnare med \(3\) respektive \(2\):

$$\frac{1\cdot3}{2\cdot3}+\frac{1\cdot2}{3\cdot2}=\frac{5}{6}$$

Med talen \(2\) och \(3\) var det relativt enkelt att hitta en gemensam nämnare, men hur gör man om man till exempel har talen \(42\) och \(48\), och vill hitta en gemensam nämnare till dessa tal?

En gemensam nämnare till \(42\) och \(48\) är produkten av de båda talen:

$$42\cdot48=2\,016$$

Men det är ett stort tal. För att i stället hitta den minsta gemensamma nämnaren till \(42\) och \(48\) kan vi börja med att primtalsfaktorisera talen, då får vi

\(42=2\cdot3\cdot7\,\,\, \texttt{och}\,\,\,48=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\)

\(2\cdot3\) finns i båda talen och ska bara tas med en gång.

En annan metod för att ta fram MGN är istället att undersöka var det finns flest \(2\):or och det är i talet \(48\) och ta med alla dem. Sen undersöka var det finns flest \(3\):or och det finns lika många i \(48\) och \(42\) alltså endast en \(3\):a. Då är MGN en produkt av dessa och det finns endast en \(7\):a.

Sammanfattning: Gå igenom alla primtal och se hur många \(2\):or, \(3\):or och \(7\):or mm som krävs, välj sedan det största antalet för att få fram MGN:

$$MGN(42, 48)=2\cdot3\cdot7\cdot2\cdot2\cdot2=336$$

Som är ett betydligt mindre tal och därför kallas detta minsta gemensamma nämnare MGN.

Det finns också en annan metod för att få fram MGN:

Om vi ska ta fram MGN för \(\frac{1}{4}+\frac{1}{10}\) Så kan vi jämföra \(4\):ans och \(10\):ans multiplikationstabeller för att få fram MGN. Då hittar vi att \(MGN=20\).

För att illustrera hur man bryter ned tal i primtal som vi kallat primtalsfaktorisera, kan man använda blockdiagram, se nedan. Vi ska ta fram minsta gemensamma nämnare för \(38\) och \(18\).

Vi ritar två blockdiagram ett för \(38\) och ett för \(18\). Vi ser att \(38\) kan brytas ned i primtalen \(2\) och \(19\). Vi ser att \(18\) kan brytas ned i \(9\) och \(2\). \(9\) kan sedan brytas ned i primtalen \(3\) och \(3\).

När vi ska ta fram MGN så ser vi att siffran \(2\) finns högst en gång i något tal så den behöver bara tas med en gång.

$$MGN=2\cdot19\cdot3\cdot3=342$$