Nollproduktmetoden

I det föregående avsnittet gick vi igenom hur man kan lösa enkla andragradsekvationer.

I det här avsnittet ska vi ta oss en titt på ett specialfall vad gäller hur andragradsekvationer kan se ut och i samband med detta introducera nollproduktmetoden, en metod som är särskilt väl lämpad för lösning av just detta specialfall.

Vi har tidigare sett att en andragradsekvation kan skrivas på den allmänna formeln

$$ax^{2}+bx+c=0$$

där a, b och c är konstanter, och a ≠ 0.

I fallet då b = 0 såg vi i avsnittet om enkla andragradsekvationer hur vi kunde lösa denna typ av andragradsekvation.

Vi ska nu titta på fallet då c = 0 och b ≠ 0, det vill säga då andragradsekvationen kan skrivas

$$ax^{2}+bx=0$$

I detta fall består ekvationens vänsterled av två stycken variabeltermer, en variabelterm av andra graden (ax²) och en variabelterm av första graden (bx). De båda termerna har alltså x som gemensam faktor.

Det enklaste sättet att lösa andragradsekvationer av just denna typ är att faktorisera vänsterledet och sedan använda sig av en metod som kallas nollproduktmetoden.

Vi använder oss av ett exempel för att visa hur denna lösningsmetod går till. Vi utgår från att vi har följande ekvation

$$x^{2}-3x=0$$

För att lösa denna ekvation börjar vi med att faktorisera vänsterledet, då vi ser att de båda termerna har faktorn x gemensam. Vi bryter alltså ut faktorn x ur vardera termen, vilket ger oss

$$x\cdot (x-3)=0$$

En andragradsekvation som är skriven på detta sätt sägs stå i faktorform.

Nu är det dags att introducera nollproduktmetoden. Som du kanske minns så är enda sättet för en produkt att bli 0 att en av faktorerna är 0. Vi kan använda oss av det här sambandet när vi ska lösa vår andragradsekvation.

Eftersom vi vet att produkten är 0 så måste det i vårt exempel gälla att antingen så är x = 0 eller också är (x - 3) = 0.

Om x = 0 så får vi

$$0\cdot (x-3)=0$$

$$0=0$$

vilket ger oss att x = 0 är en lösning på ekvationen.

På samma sätt får vi om (x - 3) = 0 att

$$x\cdot 0=0$$

$$0=0$$

vilket ger oss att om x = 3 så har vi en lösning på ekvationen, eftersom 3 - 3 = 0.

Sammanfattningsvis har vi därför följande:

$$x\cdot (x-3)=0$$

$$x=0\: \: eller\: \: (x-3)=0$$

$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=0\\ x_{2}=3 \end{matrix}\right.$$

Den här metoden fungerar jättebra för denna typ av specialfall och kan göra våra beräkningar enklare så länge andragradsekvationen är av typen

$$ax^{2}+bx=0$$

Har vi att göra med fullständiga andragradsekvationer (alltså andragradsekvationer som har värden på konstanterna a, b och c som alla är skilda från noll) är det däremot ofta nödvändigt att lösa dem med antingen kvadratkomplettering eller pq-formeln, två metoder som vi kommer att bekanta oss med härnäst.