Bisektrissatsen

En bisektris är en linje som delar en vinkel mitt itu. I figuren här nedan är alltså linjen AD en bisektris, eftersom de båda vinklarna ΛBAD och ΛCAD är lika stora (hälften stå stora som ΛBAC).

Bisektrissatsen säger att en bisektris i en triangel delar den mot vinkeln motstående sidan enligt följande förhållande:

$$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$$

Bevis

För att bevisa bisektrissatsen börjar vi med att förlänga bisektrisen till punkten P, så att sträckorna AB och BP i figuren nedan är lika långa och vi får en likbent triangel ΔABP.

Utifrån figuren ovan kan vi se att vinklarna ΛBAD och ΛBPD är lika stora, eftersom de ingår i den likbenta triangeln ΔABP.

Eftersom linjen AP är en bisektris så vet vi också att vinklarna ΛBAD och ΛCAD per definition är lika stora.

Vi vet också att vinklarna ΛBDP och ΛADC är vertikalvinklar och därför är lika stora.

Eftersom trianglarna ΔACD och ΔBDP har två lika stora vinklar, så är de likformiga och eftersom trianglarna är likformiga är förhållandena mellan dessa trianglars motsvarande sidor känt:

$$\frac{DC}{BD}=\frac{AC}{BP}$$

Eftersom sidan BP är lika stor som AB kan vi ersätta BP med AB:

$$\begin{align} \frac{DC}{BD} = & \frac{AC}{AB}\\ & \\ \iff &  \\ & \\ \frac{BD}{CD}= & \frac{AB}{AC} \end{align}$$

V.S.B.