Uppgift 23
Figuren visar fyrhörningen \(PMQR\) i en cirkel där \(P, Q\) och \(R\) ligger på cirkelns rand och \(M\) är cirkelns medelpunkt. Vinklarna \(a, b\) och \(c\) är markerade i figuren.
Visa att sambandet \(a + b = c\) gäller för alla fyrhörningar \(PMQR\) där \(P, Q\) och \(R\) ligger på cirkelns rand och \(M\) är cirkelns medelpunkt.
Lösningsförslag
Vi använder randvinkelsatsen och att ett varv är \(360^{\circ}\) för att rita in vinklarna runt medelpunkten \(M\).
För att visa att påståendet stämmer använder vi även att vinkelsumman i en fyrhörning alltid är \(360^{\circ}\) och ställer upp en ekvation för \(PMQR\).
$$a+b+c+360^{\circ}-2c=360^{\circ}$$
$$a+b+c-2c=0$$
$$a+b-c=0$$
$$a+b=c$$
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2c, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här.