Geometri

Yttervinkelsatsen säger att summan av två vinklar i en triangel är lika med yttervinkeln i den tredje triangeln. Vi får då sambandet att y + 70 =120° och då är y = 50°. Vinkelsumman i en triangel är 180° och vi beräknar x genom x = 180 - 50 -70 = 60°.

Topptriangelsatsen går ut på att när en triangel delas på något ställe på toppen (som på bilden) kommer den lilla triangeln i den stora triangeln vara likformiga mot den stora. När två trianglar är likformiga betyder det att vinklarna i trianglarna är lika och att den lilla triangeln är den stora fast i mindre skala. När vi använder oss av topptriangelsatsen innebär det att vi beräknar ut skalan mellan den lilla och stora triangeln genom att dela den lilla triangelns sida med motsvarande sida i den stora triangeln. Vi får nu en skala mellan den stora triangeln och den lilla triangeln, som vi använder oss av för att beräkna den okända sidan.

Man använder sig av topptriangelsatsen, då man behöver räkna ut basen på den lilla triangeln, dvs y i våran fråga, eller om vi endast har en hel angiven sida i triangeln.

Transversalsatsen betyder att vi beräknar kvoten mellan de två halvorna i sidan av triangeln. Det är ett mått på relationen mellan de två halvorna, t. ex. den ena halvan är dubbel så stor som den andra halvan.

Vi beräknar x och y med de två satserna.

Vi får relationen i transversalsatsen:

$$\frac{x}{8} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

$$x = \frac{8}{2} = 4$$

Relationen mellan halvorna i sidorna är:

\(\frac{4}{8} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) vilket är transversalsatsen.

För toptriangelsatsen får vi följande relation:

$$\frac{x}{(x+8)} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

$$3x = x + 8$$ $$2x = 8$$ $$x = 4$$

Relationen mellan lilla och stora triangel är:

\(\frac{4}{12} = \frac{3}{9} =\frac{1}{3}\), vilket är topptriangelsatsen.

Vi beräknar nu y som gör enklast genom topptriangelsatsen.

$$\frac{y}{15} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

$$y = \frac{15}{3} = 5$$

Svar: x = 4 cm och y = 5 cm

Randvinkelsatsen säger att medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln. Följdsatsen är att alla randvinklar på samma cirkelbåge har samma vinkel.

Alltså är x = 50° och y = 2x = 100°