Absolutbelopp

Vi går igenom begreppet absolutbelopp.  

Om vi har ett reellt tal kan det vara intressant att veta hur långt från origo detta tal ligger, oavsett om det är ett positivt eller negativt tal. Vi tittar på några exempel:

Det finns en beteckning för just detta avstånd som ett reellt tal har till origo - vi kallar detta absolutbeloppet av talet.

Absolutbelopp används då man vill bestämma längden på en sträcka t ex en vektors längd. Då absolutbelopp är en sträcka så är värdet alltid positivt. 

Absolutbelopp skrivs |x|, så t ex |-5|= 5. Oavsett om talet x är positivt eller negativt, så är |x| alltid positivt. Det går att motivera om vi tänker på att absolutbelopp beskriver sträckor och avstånd, för du kan inte mäta upp en negativ sträcka. Alltså gäller det alltid att |x|≥0.

För ett godtyckligt tal a, betecknar vi absolutbeloppet med |a|. För detta tal a är absolutbeloppet definierat på följande sätt:

$$\left | a \right |=a, om \: a\geq 0$$

$$\left | a \right |=-a, om \: a < 0 $$

Vad det här innebär i praktiken är att oavsett om talet a är positivt eller negativt, så är |a| positivt. Vi testar att använda definitionen. 

$$\text{Om } x = 5 \rightarrow |x| =x = 5 $$

$$\text{Om } x = -5 \rightarrow |x| =-x =- (-5) $$

Två tal som ligger lika långt ifrån origo har därför samma absolutbelopp, se figur nedan. 

Här ser vi att avståndet från origo ut till 3 och -3 är lika långt. Så vi kan skriva |-3| = |3| =3. Vi kan också kalla -3 och 3 motsatta tal och de har alltid samma absolutbelopp. 

En sista regel innan vi räknar några exempel med absolutbelopp där vi tar vi hjälp av kvadratroten. 

$$\sqrt{x^2} = |x|$$

Detta gäller även för negativa tal, då får vi 

$$\sqrt{{(-6)}^2}= |-6| = 6$$

Vi kollar på några exempel när vi räknar med absolutbelopp.

$$|13| = 13$$

$$|-4|= 4$$

Om vi har en ekvation med absolutbelopp måste vi ta hänsyn till att det kan ha varit ett negativt eller positivt värde från början. Vi kollar på några nya exempel.

$$|x-5|=7$$

Eftersom absolutbelopp också kan beskrivas som avstånd från origo, så kan vi säga att denna ekvation frågar oss "vilka tal har avståndet 7 bort från 5 på tallinjen?", därför kan vi se att vi kommer få två olika x som svar. 

Vi delar upp ekvationen i positiva och negativa fallet och kan då ta bort absolutbeloppet, vi börjar med det postiva

$$x-5 = 7$$

$$x = 7+5$$

$$x = 12$$

Det stämmer att 12 ligger 7 tal bort från 5. Nu till det negativa fallet.

$$x-5 = -7 $$

$$x = -7 +5$$

$$x = -2$$

Det stämmer även att -2 ligger 7 steg från 5, så svaret på ekvationen är x = -2 och x = 12.

Exempel, beräkna |x| + |y|+|x+y| om x= 2 och y= -3

$$|2|+|-3|+|2+(-3)| = 2+3+|-1| = 2+3+1 = 6$$

Vi tar ett sista exempel där vi använder kvadratroten,

$$\sqrt{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}= \left|\frac{4}{3}\right| = \frac{4}{3}$$