Uppgift 26
Funktionen \(f\) ges av
$$f(x)=a(x−a)(x−2a)(x−3a)=ax^3 −6a^2x^2 +11a^3x−6a^4$$
där \(a\) är en konstant, \(a > 0\)
Grafen till \(f\) skär \(x\)-axeln i punkterna \(P, Q\) och \(R\). Se figur.
Visa algebraiskt att tangenterna till grafen i punkterna \(P\) och \(R\) är parallella oavsett värde på konstanten \(a\).
Lösningsförslag
Nollställena till \(f(x)\) kommer vara \(a,2a\) och \(3a\) oavsett värde på \(a\) kan vi läsa från att funktionens ekvation består av produkterna \(f(x)=a(x−a)(x−2a)(x−3a)\).
Från figuren kan vi se att det är minsta \(x=a\) och största \(x=3a\) nollstället som tangenterna ligger vid, därför behöver vi visa att \(f'(a) = f'(3a)\) eftersom derivatan ger oss lutningen på tangenterna. Vi deriverar \(f(x)\)
$$f(x) = ax^3 −6a^2x^2 +11a^3x−6a^4$$
$$f'(x)=3ax^2-12a^2x+11a^3$$
Nu beräknar vi lutningen på första tangenten
$$f'(a) = 3a(a)^2-12a^2a+11a^3 = 3a^3-12a^3+11a^3 = 2a^3$$
Sen lutningen på andra tangenten
$$f'(3a) = 3a(3a)^2-12a^23a+11a^3=27a^3-36a^3+11a^3 = 2a^3$$
alltså är \(f'(a) = f'(3a)\) - v.s.v.
Eftersom vi inte använde något värde på \(a\) har vi visat att det gäller för alla värden på \(a\).
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 3b, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här