Trigonometriska formler

I tidigare avsnitt har vi repeterat de grundläggande trigonometriska sambanden och sett hur vi kan lösa enklare trigonometriska ekvationer.

I det här avsnittet ska vi introducera ett antal trigonometriska formler som kan underlätta för oss då vi löser trigonometriska ekvationer.

Trigonometriska ettan

Om vi utgår från enhetscirkeln, så kan en punkt på denna cirkels periferi anges som

$$P=(\cos\,v,\,sin\,v)$$

där v anger den vinkel som entydigt pekar ut just punkten P.

Med hjälp av Pythagoras sats kan vi formulera ett samband mellan cos v och sin v.

Vi vet att enhetscirkeln har radien 1 längdenhet, vilken utgör hypotenusan i den rätvinkliga triangel som för en punkt P i den första kvadranten kan bildas av hörnen P (cos v, sin v), (cos v, 0) och origo (0, 0).

Den ena kateten kommer att ha längden |cos v| och den andra kateten längden |sin v|.

När vi nu vet detta kan vi formulera Pythagoras sats utifrån dessa sidors kända längder:

$${(\sin\,v)}^{2}+{(\cos\,v)}^{2}={1}^{2}$$

Detta samband kan vi förenklat skriva som

$$\sin^{2}v+\cos^{2}v=1$$

där sin² v och cos² v är en förenklad notation för (sin v)² respektive (cos v)² som vi kommer att använda från och med nu.

Det samband som vi just formulerat kallas den trigonometriska ettan.

Vi ska nu visa ett exempel där vi använder oss av den trigonometriska ettan

Visa med hjälp av den trigonometriska ettan att följande samband gäller för en vinkel x.

$$1-{\cos}^{2}x={(tan\,x\cdot \cos\,x)}^{2}$$

Sambandet gäller om vi kan skriva om det högra ledet så att det motsvarar det vänstra ledet. Vi försöker därför att förenkla det högra ledet, vilket vi gör genom att dra oss till minnes att

$$tan\,x=\frac{\sin\,x}{\cos\,x}$$

Vi får därför högerledet i vår ursprungliga ekvation till

$${(tan\,x\cdot \cos\,x)}^{2}={\left (\frac{\sin\,x}{\cos\,x}\cdot \cos\,x \right )}^{2}=$$

$$={(\sin\,x)}^{2}={\sin}^{2}x$$

Vi skriver nu om detta förenklade uttryck med hjälp av den trigonometriska ettan:

$${\sin}^{2}x+{\cos}^{2}x=1$$

$${\sin}^{2}x+{\cos}^{2}x-{\color{Blue} {{\cos}^{2}x}}=1-{\color{Blue} {{\cos}^{2}x}}$$

$${\sin}^{2}x=1-{\cos}^{2}x$$

vilket precis motsvarar det vänstra ledet i det ursprungliga sambandet.

Vi har alltså visat att sambandet gäller.

Additions- och subtraktionsformler

Utöver den trigonometriska ettan finns det ett antal formler som anger hur vi kan skriva om trigonometriska uttryck där vi adderar eller subtraherar vinklar.

För två vinklar v och w har vi följande samband:

$$\sin(v+w)=\sin\,v\cdot \cos\,w+\cos\,v\cdot \sin\,w$$

$$\sin(v-w)=\sin\,v\cdot \cos\,w-\cos\,v\cdot \sin\,w$$

$$\cos(v+w)=\cos\,v\cdot \cos\,w-\sin\,v\cdot \sin\,w$$

$$\cos(v-w)=\cos\,v\cdot \cos\,w+\sin\,v\cdot \sin\,w$$

$$tan(v+w)=\frac{tan\,v+tan\,w}{1-tan\,v\cdot tan\,w}$$

$$tan(v-w)=\frac{tan\,v-tan\,w}{1+tan\,v\cdot tan\,w}$$

Låt oss titta på ett exempel där vi får användning för en av dessa formler

Lös följande ekvation med hjälp av additionsformeln för sinus.

$$\sin\,(x+{90}^{\circ})=\frac{1}{2}$$

Vi skriver om det vänstra ledet i ekvationen med hjälp av additionsformeln för sinus.

$$\sin\,(x+{90}^{\circ})=\sin\,x\cdot \cos\,{90}^{\circ}+\cos\,x\cdot \sin\,{90}^{\circ}$$

cos 90° och sin 90° har kända exakta trigonometriska värden:

$$\cos\,{90}^{\circ}=0$$

$$\sin\,{90}^{\circ}=1$$

Detta gör att vi kan förenkla vår ursprungliga ekvations vänstra led ytterligare:

$$\sin\,x\cdot \cos\,{90}^{\circ}+\cos\,x\cdot \sin\,{90}^{\circ}=$$

$$=\sin\,x\cdot 0+\cos\,x\cdot 1=$$

$$=0+\cos\,x=$$

$$=\cos\,x$$

Nu har vi följande förenklade version av den ursprungliga ekvationen:

$$\cos\,x=\frac{1}{2}$$

Denna trigonometriska ekvation har kända lösningar: dels en lösning som vi kan beräkna med miniräknare och dels en lösning som vi kan få utifrån enhetscirkeln.

$$x=\arccos\,\left ( \frac{1}{2} \right )={60}^{\circ}$$

Eftersom cos v har perioden 360° blir fullständiga lösningar för ekvationen:

$$x_1={60}^{\circ}+n \cdot {360}^{\circ}$$

$$x_2={300}^{\circ}+n \cdot {360}^{\circ}$$

där n är heltal n=0, 1, 2, …

Här är grafiska lösningar för \(-11\frac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant​ 11\frac{\pi}{3}\), där linjen \(x = 0,5\) skär med kurvan \(\cosx\).

Formler för dubbla vinkeln

När vi nu har formulerat additions- och subtraktionsformlerna ska vi även passa på att nämna två följdsatser.

Om de två vinklarna som ska adderas är lika stora, det vill säga

$$v+v=2v$$

då har vi följande samband:

$$\sin\,2v=2\cdot \sin\,v\cdot \cos\,v$$

$$\cos\,2v={\cos}^{2}v-{\sin}^{2}v$$

Med hjälp av trigonometriska ettan kan vi även skriva om den andra formeln för dubbla vinkeln ovan som

$$\cos\,2v={\cos}^{2}v-{\sin}^{2}v=$$

$$=2\cdot {\cos}^{2}v-1=$$

$$=1-2\cdot {\sin}^{2}v$$

Formeln för dubbla vinkeln gällande sinus härleder vi med hjälp av additionsformeln för sinus:

$$\sin\,2v=\sin\,(v+v)=$$

$$=\sin\,v\cdot \cos\,v+\cos\,v\cdot \sin\,v=$$

$$=2\cdot \sin\,v\cdot \cos\,v$$

På motsvarande sätt härleder vi formeln för dubbla vinkeln gällande cosinus:

$$\cos\,2v=\cos\,(v+v)=$$

$$=\cos\,v\cdot \cos\,v-\sin\,v\cdot \sin\,v=$$

$$={\cos}^{2}v-{\sin}^{2}v$$

Vi löser ett exempel med hjälp av en av formlerna för dubbla vinkeln.

Visa med hjälp av cosinusformeln för dubbla vinkeln att följande samband gäller.

$$\frac{\cos\,2x}{{\cos}^{2}x}=1-{tan}^{2}x$$

Vi fokuserar på det vänstra ledet, där vi kan tillämpa cosinusformeln för dubbla vinkeln på täljaren:

$$\frac{\cos\,2x}{{\cos}^{2}x}=\frac{{\cos}^{2}x-{\sin}^{2}x}{{\cos}^{2}x}=$$

$$=\frac{{\cos}^{2}x}{{\cos}^{2}x}-\frac{{\sin}^{2}x}{{\cos}^{2}x}=1-\frac{{\sin}^{2}x}{{\cos}^{2}x}$$

Ettan står nu där vi önskar att den ska vara, så vi fokuserar på att skriva om den andra termen i uttrycket:

$$\frac{{\sin}^{2}x}{{\cos}^{2}x}=\frac{\sin\,x\cdot \sin\,x}{\cos\,x\cdot \cos\,x}=$$

$$=tan\,x\cdot tan\,x={tan}^{2}x$$

Nu har vi kommit fram till det önskade sambandet:

$$\frac{\cos\,2x}{{\cos}^{2}x}=1-{tan}^{2}x$$