Inhomogena differentialekvationer

I det förra avsnittet lärde vi oss vad en linjär homogen differentialekvation är och hur vi kan finna lösningar till linjära homogena differentialekvationer av första ordningen.

I det här avsnittet kommer vi att bekanta oss med linjära inhomogena differentialekvationer och se hur vi kan gå till väga för att i vissa fall lösa linjära inhomogena differentialekvationer av första ordningen.

Linjära inhomogena differentialekvationer av första ordningen

När vi i det förra avsnittet studerade differentialekvationer hade vi att göra med så kallade linjära homogena differentialekvationer av första ordningen. Dessa kan vi skriva om så att de står på formen

$$y'+a\cdot y=0$$

där y är en funktion av någon variabel, y' är dess förstaderivata och a är en konstant.

Vi konstaterade att denna typ av differentialekvation har den allmänna lösningen

$$y=C\cdot {e}^{-ax}$$

där C och a är konstanter, och x är den oberoende variabeln.

Mer generellt kan man skriva den här typen av linjär differentialekvation av första ordningen på formen

$$y'+a\cdot y=f(x)$$

där det högra ledet i ekvationen är en funktion av x som inte innehåller funktionen y eller någon derivator av y. Linjära homogena differentialekvationer av första ordningen utgör specialfallet där f(x) = 0.

Det förekommer dock linjära differentialekvationer där f(x) inte är lika med noll. Ett exempel på en sådan differentialekvation är

$$y'+4y=2x-3$$

I detta fall är

$$f(x)=2x-3$$

Denna differentialekvation är ett exempel på en linjär inhomogen differentialekvation av första ordningen.

I just detta exempel var funktionen f(x) en första gradens polynomfunktion. När vi har att göra med linjära inhomogena differentialekvationer av första ordningen kan funktionen f(x) i ekvationens högra led till exempel vara en polynomfunktion, en trigonometrisk funktion eller en exponentialfunktion.

Partikulärlösning och allmän lösning

Att finna lösningar till linjära inhomogena differentialekvationer är inte lika enkelt som att hitta lösningar till motsvarande homogena differentialekvationer. Ofta får vi göra vad som kallas en ansättning av en funktion, det vill säga att vi vet ungefär hur lösningen till ekvationen bör se ut, men vi vet inte vilka värden konstanterna i funktionsuttrycket måste ha.

Vi stötte nyss på följande differentialekvation:

$$y'+4y=2x-3$$

I det här fallet kan vi komma fram till att lösningen till differentialekvationen kommer att finnas på formen

$$y=ax+b$$

där a och b är konstanter. Anledningen till att vi ansätter en funktion som har just denna form är att f(x) = 2x - 3 är en första gradens polynomfunktion; hade f(x) varit en andra gradens polynomfunktion hade vi ansatt en andra gradens polynomfunktion, och så vidare.

Vi deriverar vår ansatta funktion med avseende på x och får

$$y'=a$$

Sätter vi nu in vår ansatta funktion och denna funktions derivata i vår ursprungliga ekvation får vi följande i det vänstra ledet:

$$a+4\cdot (ax+b)=a+4ax+4b$$

Eftersom det vänstra ledet ska vara lika med det högra ledet i differentialekvationen måste vi lösa följande ekvationssystem för att ta reda på värdena på konstanterna a och b:

$$\left\{\begin{matrix} 4a & =2\\a+4b & =-3 \end{matrix}\right.$$

Löser vi detta ekvationssystem får vi värdena a = 0,5 och b = -0,875.

Det innebär att följande funktion är en lösning till vår linjära inhomogena differentialekvation:

$$y=0,5x-0,875$$

En lösning av denna typ kallar vi en partikulärlösning och betecknar vanligtvis y_p, så vi har

$${y}_{p}=0,5x-0,875$$

Vad vi har funnit här är alltså en lösning till differentialekvationen, men vi är ju intresserade av att finna samtliga lösningar till differentialekvationen, inte bara denna enda.

Om vi löser motsvarande homogena differentialekvation

$$y'+4y=0$$

får vi lösningar i form av funktionen

$$y=C\cdot {e}^{-4x}$$

Eftersom detta är lösningar till den homogena ekvationen kan vi beteckna dessa lösningar med y_h, så vi har

$${y}_{h}=C\cdot {e}^{-4x}´$$

Med denna lösning på den homogena differentialekvationen blir alltså differentialekvationens vänstra led lika med noll. Det innebär att vi kan addera denna funktion till vår tidigare funna partikulärlösning och därigenom få lösningar till ekvationen:

$$y={y}_{p}+{y}_{h}=$$

$$=0,5x-0,875+C\cdot {e}^{-4x}$$

Summan av partikulärlösningen och lösningen till den motsvarande homogena ekvationen är alltså även den lösningar till differentialekvationen.

I själva verket kan samtliga lösningar till en linjär inhomogen differentialekvation av första ordningen

$$y'+a\cdot y=f(x)$$

skrivas på formen

$$y={y}_{p}+{y}_{h}$$

där y_p är partikulärlösningen och y_h är allmän lösning till den motsvarande homogena differentialekvationen. Denna summa av lösningar är därför allmän lösning till en linjär inhomogen differentialekvation av första ordningen.