Räkna med potenser
I det förra avsnittet repeterade vi vad potenser är och hur vi kan skriva tal i tiopotensform och i grundpotensform .
I det här avsnittet ska vi lära oss vilka räkneregler som gäller när vi multiplicerar eller dividerar med potenser. Vi kommer även att undersöka vad det betyder att en potens har exponenten noll.
Multiplikation med potenser
Precis som med vanliga tal kan vi ibland vilja multiplicera tal skrivna som potenser. Om potenserna har samma bas, till exempel basen 10, då finns det vissa räkneregler som kan göra det enklare för oss att utföra multiplikationen.
Till exempel kan vi vilja beräkna den här produkten:
$$ {10}^{4}\cdot{10}^{2}$$
Ett sätt att beräkna den här produkten är att utveckla var och en av tiopotenserna, så att vi får följande produkt att beräkna:
$$ {10}^{4}\cdot{10}^{2}=(10\cdot10\cdot10\cdot10)\cdot(10\cdot10)$$
Multiplicerar vi dessa 6 stycken 10-faktorer, så får vi
$$ 10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=1\,000\,000={10}^{6} $$
Alltså kan vi skriva den ursprungliga produkten av två potenser som en enda potens:
$$ {10}^{4}\cdot{10}^{2}={10}^{6}$$
Ett snabbare sätt att beräkna denna produkt är att behålla basen 10 och låta den nya exponenten vara lika med summan av 4 och 2, så här:
$$ {10}^{4}\cdot{10}^{2}={10}^{4+2}={10}^{6}$$
Det här är en allmän räkneregel som gäller när vi multiplicerar två potenser som har samma bas: basen ändras inte, men exponenterna adderas.
Vi kan alltså räkna på samma sätt om vi till exempel ska multiplicera två potenser som har basen 2:
$$ {2}^{4}\cdot{2}^{6}={2}^{4+6}={2}^{10}$$
Allmänt kan vi skriva den här räkneregeln så här:
$$ {a}^{b}\cdot{a}^{c}={a}^{b+c}$$
där a är basen som är gemensam för de båda potenserna, och b och c är exponenterna.
Skriv produkten som en enda potens
$$a)\,\,{3}^{3}\cdot{3}^{2}$$
$$b)\,\,{10}^{2}\cdot{10}^{5}\cdot10$$
Lösningsförslag:
a)
Eftersom de båda faktorerna har samma bas, 3, använder vi räkneregeln för multiplikation av potenser.
$$ {3}^{3}\cdot{3}^{2}={3}^{3+2}={3}^{5}$$
b)
I det här fallet har vi tre faktorer, men vi kan ändå använda räkneregeln för multiplikation av potenser, om vi beräknar produkten i två steg. Kom också ihåg att 10 är samma sak som 101.
$${10}^{2}\cdot{10}^{5}\cdot10=$$
$$= {10}^{2+5}\cdot10=$$
$$={10}^{7}\cdot10=$$
$$={10}^{7+1}= $$
$$={10}^{8}$$
Division med potenser
Även när vi dividerar potenser finns det räkneregler som gör det enklare för oss att räkna när potenserna har samma bas.
Vi ska börja med att titta på ett exempel med en kvot där täljaren och nämnaren är potenser med basen 10:
$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}$$
På samma sätt som vi visade vad gäller multiplikation, kan vi beräkna det här uttrycket genom att skriva potenserna som produkter av ett antal 10-faktorer, så här:
$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}=\frac{10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10}{10\cdot10\cdot10}$$
Hur ska vi nu gå vidare? Jo, eftersom faktorn 10 förekommer tre gånger i produkterna i täljaren och nämnaren, kan vi förkorta täljaren och nämnaren med 10 tre gånger. Det ger oss detta resultat:
$$\frac{10\cdot10\cdot10\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}=$$
$$=\frac{10\cdot10\cdot10}{1}=$$
$$=1\,000={10}^{3}$$
Alltså blir den ursprungliga kvoten denna tiopotens:
$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}={10}^{3}$$
Ett snabbare sätt att beräkna denna kvot är att behålla basen 10 och låta den nya exponenten vara lika med differensen mellan 6 och 3, så här:
$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}={10}^{6-3}={10}^{3}$$
Det här är en allmän räkneregel som gäller när vi dividerar två potenser som har samma bas: basen ändras inte, men exponenten blir lika med differensen mellan täljarens och nämnarens exponenter.
Vi kan alltså räkna på samma sätt om vi till exempel ska dividera två potenser som har basen 2:
$$ \frac{{2}^{5}}{{2}^{3}}={2}^{5-3}={2}^{2}$$
Allmänt kan vi skriva den här räkneregeln så här:
$$ \frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}$$
där a är basen som är gemensam för de båda potenserna, och b och c är exponenterna.
Skriv kvoten som en enda potens
$$ a)\,\,\frac{{5}^{9}}{{5}^{6}}$$
$$b)\,\,\frac{{10}^{3}\cdot{10}^{2}}{{10}^{4}}$$
Lösningsförslag:
a)
Vi ser att potenserna i täljaren och nämnaren har samma bas. Därför kan vi använda räkneregeln för division av potenser:
$$ \frac{{5}^{9}}{{5}^{6}}={5}^{9-6}={5}^{3}$$
Om vi beräknar värdet av denna potens, så kommer vi fram till att uttrycket är lika med 125.
b)
I den här uppgiften har vi ett uttryck där kvoten har en produkt av potenser i täljaren och en potens i nämnaren. Vi kan förenkla uttrycket genom att först använda räkneregeln för multiplikation av potenser på uttrycket i täljaren, och sedan dividera potenserna.
Vi börjar med att multiplicera potenserna i täljaren:
$$ \frac{{10}^{3}\cdot{10}^{2}}{{10}^{4}}=\frac{{10}^{3+2}}{{10}^{4}}=\frac{{10}^{5}}{{10}^{4}}$$
Nu kan vi dividera potenserna med hjälp av räkneregeln för division:
$$ \frac{{10}^{5}}{{10}^{4}}={10}^{5-4}={10}^{1}$$
Efter att vi har förenklat uttrycket blev det lika med 10.
Potenser med exponenten noll
När vi nu har lärt oss räkneregeln som gäller vid division av potenser som har samma bas, ska vi gå vidare och undersöka vad det innebär att ha en potens med exponenten lika med noll.
Till exempel vill vi veta värdet av denna potens:
$$ {10}^{0}$$
Från räkneregeln för division av potenser vet vi hur vi beräknar en kvot av typen
$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{2}}$$
Denna kvot ska vara lika med en potens med basen 10, vars exponent är differensen mellan täljarens och nämnarens exponenter, så här:
$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{2}}={10}^{2-2}={10}^{0}$$
Men vi vet också att vi kan skriva potenserna i täljaren och nämnaren som produkter av 10-faktorer, och sedan förkorta:
$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{2}}=\frac{10\cdot10}{10\cdot10}=\frac{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}{{\color{Red} \not}{10}\cdot{\color{Red} \not}{10}}=\frac{1}{1}=1$$
Av det här kan vi dra slutsatsen att
$$ {10}^{0}=1$$
På motsvarande sätt kan vi komma fram till att även potenser med andra baser än 10 som har exponenten 0 är lika med 1. Allmänt gäller därför att
$$ {a}^{0}=1$$
där a är potensens bas.
Förenkla uttrycket
$$ \frac{{4}^{6}}{{4}^{4}\cdot{4}^{2}}$$
Lösningsförslag:
Vi börjar med att förenkla nämnaren med hjälp av räkneregeln för multiplikation av potenser.
$$ \frac{{4}^{6}}{{4}^{4}\cdot{4}^{2}}=\frac{{4}^{6}}{{4}^{4+2}}=\frac{{4}^{6}}{{4}^{6}}$$
Sedan förenklar vi uttrycket med hjälp av räkneregeln för division av potenser.
$$ \frac{{4}^{6}}{{4}^{6}}={4}^{6-6}={4}^{0}=1$$
Efter att vi dividerade såg vi alltså att vi fick en potens med exponenten noll, som måste vara lika med 1. Därför är hela uttrycket lika med 1.
Videolektioner
Här går vi igenom 10-potenser.
Här går vi igenom multiplikation med 10-potenser.
Här går vi igenom division med 10-potenser.
Här går vi igenom multiplikation med potenser.
Här går vi igenom division med potenser.
Här går vi igenom potenser som har exponenten 0.