Olikheter och Linjära olikheter

Olikhet är på ett sätt motsatsen till likhet. Likhet vet vi vad det innebär i matematiken, och vi använder likhetstecknet för att symbolisera det. Nu ska vi lära oss vad olikhet innebär, och hur det används.

Olikhet representeras med flera olika tecken beroende på vilken typ av olikhet det handlar om. Vi kan lösa ekvationer som behandlar en olikhet på ungefär samma sätt som vi gör med likheter. Många av de räkneregler som används vid ekvationer med likheter är de samma för olikhetsekvationer, med undantag för vissa specifika regler för olikheter.

I en ekvation är uttrycken som står på vardera sidan om likhetstecknet lika stora. Men det är inte alltid så att det vi vill beskriva kan skrivas på det sättet. Vi kallar uttryck där båda leden inte är lika stora för olikheter och istället för likhetstecknet "\(=\)" används då tecknen mindre än "\(<\)" och större än "\(>\)".

Att \(4\) är mindre än \(5\) kan skrivas som

$$4<5$$

På motsvarande sätt kan att \(5\) är större än \(4\) skrivas som

$$5>4$$

Generellt gäller för två olika stora tal

$$st\ddot{o}rst>minst$$

$$minst<st\ddot{o}rst$$

Det finns också två tecken som betyder "större än eller lika med" och "mindre än eller lika med":

$$x\leq 4$$

Detta utläser vi som att "\(x\) är mindre än eller lika med \(4\)".

$$x\geq 2$$

Detta utläser vi som att "\(x\) är större än eller lika med \(2\)".

Det finns även ett tecken som betyder "skilt från":

$$x\neq 3$$

Detta utläser vi som "\(x\) är skilt från 3". Det vill säga \(x\) får inte vara lika med 3.

Multiplicera och dividera olikheter med negativa tal

Det finns en väldigt viktig regel att hålla i minnet när vi räknar med olikheter:

Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas åt andra hållet. Detta beror på att multiplikation eller division med ett negativt tal alltid ändrar tecken på termerna i ett uttryck. Det behövde vi inte tänka på vid ekvationslösningen, men vi får inte glömma det när vi löser olikheter. För övrigt ska de ingående uttrycken i en olikhet behandlas som när vi löser en ekvation.

Exempel

Vi har olikheten

$$5>4$$

Om vi multiplicerar båda sidorna med \(-1\) utan att göra någonting mer, så ser vi att vi får

$$5>4$$

$$5\cdot (-1)>4\cdot (-1)$$

$$-5>-4$$

$$stämmer \, ej$$

och vi vet ju att detta inte stämmer, eftersom \(-5\) är mindre än \(-4\). För att olikheten ska gälla även när man multiplicerar eller dividerar med negativa tal, så måste vi därför byta olikhetstecken i uttrycket:

$$5>4$$

$$5\cdot (-1)\;{\color{Blue} <}\;4\cdot (-1)$$

$$-5 \; {\color{Blue} <}-4$$

Lösa linjära olikheter algebraisk

Olikheter kan användas på ungefär samma sätt som ekvationer och vi kan hitta lösningar på olikheter genom att använda räkneoperationer på våra algebraiska uttryck. Om du vill så kan du repetera avsnittet om ekvationslösning för att lättare komma vidare.

Exempel

$$70-2x<10$$

$$70-2x-70<10-70$$

$$-2x<-60$$

$$\frac{-2x}{-2}\;{\color{Blue} >}\;\frac{-60}{-2}$$

$$x \; {\color{Blue} >} \; 30$$

Observera att vi har vänt på olikhetstecknet eftersom vi dividerat med \(-2\) i båda leden för att lösa ut \(x\).

Exempel

Säg att du äger en telefon och har ett abonnemang hos en telefonioperatör som kostar \(199\) kronor i månaden och där abonnemanget har en minutkostnad på \(99\) öre. Du har inte råd att betala mer än \(400\) kronor i månaden för dina telefonsamtal, och du undrar därför hur många minuter du kan ringa för varje månad.

Om vi kallar antalet minuter som du kan ringa för varje månad för \(x\), så kan vi ställa upp ett uttryck för månadskostnaden.

Uttrycket som bestämmer månadskostnaden är

$$199+0,99x$$

Detta uttryck måste vara mindre än eller lika med \(400\), eftersom du inte hade råd att betala mer än \(400\) kronor varje månad. Vi får då olikheten

$$199+0,99x\leq 400$$

Olikheter kan vi lösa ungefär som om det vore en ekvation. Vi subtraherar först \(199\) från uttrycken på båda sidorna och får

$$199+0,99x-\color{Red}{199}\leq 400-\color{Red}{199}$$

$$0,99x\leq400-\color{Red}{199}$$

$$0,99x\leq 201$$

Sedan dividerar vi uttrycken på båda sidorna med \(0,99\) för att lösa ut \(x\).

$$x\leq \frac{201}{0,99}$$

$$x\leq203$$

Med andra ord kan du med en budget på \(400\) kronor ringa upp till \(203\) minuter varje månad, vilket motsvarar \(3\) timmar och \(23\) minuter.

Den lösning vi har hittat är i själva verket ett intervall av värden, eftersom vi kan ringa för mindre än detta antal minuter och fortfarande uppfylla olikheten. Ringer vi för till exempel \(100\) minuter (\(x=100\)), då får vi genom insättning olikheten

$$199+0,99\cdot 100\leq 400$$

$$199+99\leq 400$$

$$298\leq 400 $$

Olikheten ovan gäller för detta värde på \(x\), eftersom \(298\) är mindre än \(400\).

Olikheter med negativa variabler

När man har en olikhet med negativt tecken före en variabel måste man vara uppmärksam. Vi måste vända på olikheten om det är negativt tecken i båda led som vi vill ta bort.

Exempel

$$-5<-x \color{Red}{≠}5<x$$

För att beräkna \(x\) i olikheten måste vi först dividera båda led med \(–1\), alltså ett negativt tal. Vi får då \(5<x\) men eftersom vi dividerat med ett negativt tal måste samtidigt ändra olikhetstecknet till omvänt och får då \(5>x\). Alltså är

$$5>x \color{Green}{=}x<5$$

Linjära olikheter med både \(x\) och \(y\)

Om vi har en olikhet med \(x\) och \(y\) så bildar olikheten en rät linje på samma sätt som en ekvation med \(x\) och \(y\) bildar en rät linje kallad den räta linjens ekvation: \(y=kx+m\). Med den skillnaden att när det gäller olikheter så beskrivs i stället den räta linjen för en olikhet som:

$$y>kx+m\;\text{eller}\;y≥kx+m\;\text{eller}\;y<kx+m\;\text{eller}\;y≤kx+m$$

Exempel

Vi har följande olikhet \(3y+6<3x+12\)

Vi subtraherar först \(6\) från båda sidor och får

$$3y + 6 – 6 < 3x +12 - 6$$

$$3y < 3x +6$$

Sen dividerar vi båda sidor med \(3\) och får

$$\frac{3y}{3}<\frac{3x+6}{3}$$

$$y<x+2$$

Vi jämför \(y<x+2\) med \(y<kx+m\) ser vi att \(k=1\) och \(m=2\)

Vi ritar denna linje och ser att \(m=2\) där linjen skär y-axeln och vi väljer ur figuren \((x_1, y_1)=(1, 3)\) och \((x_2, y_2)=(0, 2)\) och får $$\normalsize{k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-2}{1-0}=1}$$

\(y<x+2\) betyder att \(y\):s värdemängd är alla y-värden under linjen \(x+2\). Med värdemängd menas alla tillåtna y-värden. Själva linjen hör inte till \(y\):s värdemängd då tecknet "\(<\)" betyder mindre än.

Definitionsmängden är \(-\infty<x<+\infty\) då samtliga \(x\) är tillåtna.

Sammanfattning:

I detta exempel är

Definitionsmängd: \(-\infty<x<+\infty\)
Värdemängd: \(y<x+2\)

Om olikheten varit \(y≤x+2\) då hade både linjen och området under linjen hört till \(y\):s värdemängd. Då tecknet "\(≤\)" betyder mindre än och lika med.

Om olikheten varit \(y>x+2\) hade \(y\):s värdemängd endast varit över linjen. Då tecknet "\(>\)" betyder större än.

Om olikheten varit \(y≥x+2\) då hade både linjen och området över linjen hört till \(y\):s värdemängd. Då tecknet "\(≥\)" betyder större än och lika med.

Intervall och olikheter på tallinjen

Att representera ett reellt tal på tallinjen kan vi göra genom att markera just detta tal på rätt plats längs linjen.

Har vi däremot att göra med en olikhet som vi vill markera på tallinjen, så är det ett intervall av tillåtna värden längs tallinjen som vi vill markera, inte bara ett specifikt värde. Sådana intervall av tillåtna värden kan vi markera genom att vi använder oss av fyllda och ofyllda ringar. Om ringen är fylld så betyder det att värdet tillhör de värden som vi vill markera; om ringen är ofylld så tillhör värdet inte de värden som vi vill markera.

Exempel

Nedan följer fyra olikheter och hur de representeras på tallinjen.

\(x\) ska ha ett värde som är större än \(-2\):

$$x>-2 $$

\(x\) ska ha ett värde som är mindre än \(1\):

$$x<1$$

\(x\) ska ha ett värde som är större än eller lika med \(0\):

$$x\geq 0$$

\(x\) ska ha ett värde som är mindre än eller lika med 0:

$$x\leq 0$$

Vi kan också ha olikheter som representeras av flera intervall på tallinjen

Exempel

\(x\) ska ha ett värde som ligger i intervallet:

$$x≤-2\;\text{eller}\;x≥2$$

Här noterar vi \(x\) ska vara mindre än eller lika med \(–2\), eller, större än eller lika med \(2\). Alltså intervallen går från och med \(–2\) och mindre negativa tal, eller, från och med \(2\) och större positiva tal. Dessa olikheter representeras på tallinjen på följande sätt