Exponentialfunktioner och potensfunktioner

Vi har tidigare gått igenom hur man kan beskriva linjära funktioner med hjälp av räta linjens ekvation. I det här avsnittet ska vi titta på funktioner som inte är linjära, utan följer någon annan typ av samband.

Exponentialfunktioner

En exponentialfunktion har följande form

$$f(x)=C \cdot a^x$$

Där \(C\) och \(a\) är konstanter och \(x\) den oberoende variabeln. \(C\) är funktionens startvärde, och \(a\) är förändringsfaktor. När konstanten \(a\) är större än \(1\) så är funktionen exponentiellt växande och när \(a\) är mindre än \(1\) så är funktionen exponentiellt avtagande. Man brukar välja beteckningen \(f(x)\) för en allmän funktion, men beroende på sammanhang använder man lämpliga bokstäver. Till exempel brukar sträcka som förändring av tid skrivas \(s(t)\).

Eftersom \(a\) är förändringsfaktorn, kommer det ofta ha en procentuell betydelse. Om \(a\) exempelvis är \(1,02\), betyder det att det sker en ökning med \(2\) procent, eftersom \(1=100\%\) när man multiplicerar tal.

Exempel:

Vi har \(50\,000\) kr på banken med en årlig ränta på \(2\%\). Beroende på om vi väljer att beräkna räntan på det ursprungliga värdet eller föregående års värde så kommer vi ha olika mycket pengar på banken i slutändan. I detta exempel ska vi gå igenom båda fallen och jämföra resultatet.

Om vi beräknar räntan utifrån det ursprungliga kapitalet för varje år så får vi en linjär ökning. Värdetabellen nedan visar hur kapitalet växer under tre år.

Räntan (kapitalets ökning) mätt i kronor är konstant varje år. Saldot på vårt konto efter \(x\) antal år kan därmed beskrivas enligt

$$f(x)=1\,000x+50\,000$$

Här är \(y\) är kapitalets storlek och \(x\) antal år efter att vi satte in pengarna på kontot. Detta samband motsvarar räta linjens ekvation med \(k=1000\) och \(m=50\,000\).

Om vi istället får en ränta på säg \(2\%\) per år, på så sätt att räntan räknas på det innestående kapitalbeloppet vid årets slut, kommer pengarna att öka enligt följande tabell:

År \(3\) får vi alltså kapitalet:

$$50\,000\cdot1,02\cdot1,02\cdot1,02=50\,000\cdot{1,02}^3=53\,060,40$$

där exponenten \(3\) står för tiden \(3\) år som vi har haft kapitalet på kontot. Denna tillväxt av kapitalet kallas i ekonomiskt språk för att “kapitalet växer med ränta på ränta”.

Eftersom kapitalet förändras (ökar) med räntan varje år kan saldot inte beräknas med hjälp av en linjär funktion. Förändringen följer istället formeln:

$$\text{pengar efter}\;x\,\text{år}=\text{startkapital}\cdot\text{förändringsfaktorn}^{x\,\text{antal år}}$$

\(x\)-variabeln är nu exponenten, dvs funktionen är exponentiell. Saldot på vårt konto efter \(x\) antal år beräknas enligt

$$f(x)=5\,000 \cdot 1,02^x$$

Nu ska vi visualisera hur pengarna växer för både det linjära och exponentiella fallet. Nedan visas en graf, där den blåa räta linjen representerar den linjära funktionen och den gröna linjen representerar exponentialfunktionen.

Vi kan se att vi får ett avsevärt större kapital om vi baserar räntan på saldot årsvis än om vi baserar räntan på vårt ursprungliga belopp.

Med hjälp av formeln för exponentialfunktioner betyder det att vi inte måste beräkna värdet för varje kommande år, utan kan istället använda oss av att exponenten står för tiden.

Exempel: Om en stad har \(5\,000\) bosatta duvor, kan vi fråga oss hur många duvor det kommer vara efter \(4\) år om populationen årligen ökar med \(20\%\).

$$5\,000\cdot1,2^4=5000\cdot2,0736=10368$$

Alltså kan vi förvänta oss att det kommer vara \(10\,368\) duvor efter \(4\) år. I tabellen nedan kan vi se hur man beräknar den årliga populationen på liknande sätt.

Potensfunktioner

En potensfunktion har följande form:

$$f(x)=C \cdot x^n$$

Där \(C\) och \(n\) är konstanter och \(x\) den oberoende variabeln. \(C\) är potensfunktionens startvärde, och exponenten \(n\) är en konstant i funktionen. \(n\) kan vara vilket reellt tal som helst. Om \(n\) är \(0\) eller \(1\) har det en särskild betydelse. När \(n=0\) blir funktionen en konstant funktion \(f(x)=C\) eftersom \(x^0=1\). Och för \(n=1\) blir funktionen linjär, då \(x^1=x\) vilket ger att

$$f(x)=C\cdot x$$

Med andra ord är linjära funktioner specialfall av potensfunktioner. När funktionen inte är linjär så har dess graf formen av en böjd kurva - hur sådana kurvor ser ut kan variera kraftigt.

Exempel: Ett fritt fall kan beskrivas av funktionen

$$s(t)=4,9 \cdot t^2$$

Där \(s\) är sträckan i meter och \(t\) är tiden i sekunder.

Detta är ett exempel på en potensfunktion. I detta fall återfinns den oberoende variabeln i potensens bas, snarare än i exponenten (som var fallet för exponentialfunktioner).

Nedan ser vi grafen till funktionen. I detta fall har vi en potensfunktion med konstanterna \(C=4,9\) och \(n=2\).

Notera att om något av värdet på variablerna \(t\) eller \(s\) anges så får vi en potensekvation.