Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation beskriver ett linjärt samband mellan två variabler, \(y\) och \(x\). Linjen ritas som rak linje i ett koordinatsystem.

Räta linjens ekvation skrivs

$$y=kx+m$$

Där \(k\) och \(m\) är konstanter som avgör sambandet mellan variablerna \(x\) och \(y\). Konstanten \(k\) anger linjens lutning och \(m\) anger vid vilket värde som linjen skär y-axeln, då \(x=0\).

Exempel 1

Antag att konstanterna \(m=5\) och \(k=1\). Denna räta linjes ekvation är:

$$y=1\cdot x+5=x+5$$

Exempel 2

Den räta linjen \(y=2x+3\) har följande graf:

Linjen skär y-axeln vid \(y=3\), som vi kan läsa av via m-värdet, då \(x=0\).

Lutningen \(k\) hittas genom att studera hur stegen i x-led förhåller sig till stegen i y-led. För varje steg i x-led tas två steg i y-led för varje punkt längs linjen.

k-värdet \(2\) innebär en ökning av x-värdet med \(1\) och en ökning av y-värdet med \(2\). För varje steg \((+1)\) i x-led tas \(k\) steg i y-led.

Den räta linjen \(y=-2x+4\) har följande graf:

k-värdet \(-2\) innebär en ökning av x-värdet \((A-B)\) och en minskning av y-värdet \((B-C)\) med \(2\).

Konstanterna \(k\) och \(m\)

Konstanten \(k\) kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen. Ett positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger i koordinatsystemet, alltså att y-värdet blir större ju större värdet blir på den oberoende variabeln \(x\).

I figuren ovan ser vi i svart den konstanta linjen \(y=1\), i grönt \(y=x\), och i rött \(y=3x\).

Ett negativt k-värde ger en linje som lutar snett neråt åt höger, och att y-värdet blir mindre ju större värdet blir på den oberoende variabeln.

I figuren ovan ser vi den konstanta linjen \(y=1\) i svart, den minskande \(y=-x\) i grönt, och minskande \(y=-3x\) i rött.

När \(k=0\) så har linjen en horisontell lutning som är parallell med x-axeln. Notera att om \(k=0\) så kommer inte y-värdet att vara beroende av värdet på den oberoende variabeln – y-värdet kommer då att vara detsamma, konstant, oavsett av den oberoende variabelns värde. När k-värdet är \(0\), är \(y=0x+m\). Vilket är samma sak som \(y=m\).

Konstanttermen \(m\) bestämmer var linjen skär y-axeln. m-värdet motsvarar y-värdet i den punkten där \(x=0\), alltså där linjen skär y-axeln.

När m-värdet är positivt skär linjen y-axeln ovanför origo och när det är negativt skär linjen y-axeln under origo. När \(m=0\) går genom origo, dvs. punkten \((0,\,0)\).

Exempel 3

Ritar vi linjen \(y=x+5\) i exempel 1 skär y-axeln i punkten \((0,\,5)\), dvs. den punkt där \(x=0\) och \(y=5\).

Räkna ut lutning på en rät linje

Givet två punkter på linjen \((x_1, y_1)\) och \((x_2, y_2)\) så kan vi med följande formel räkna fram lutningen:

$$k=\frac{\text{Förändring i}\;y\text{-led}}{\text{Förändring i}\;x\text{-led}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Exempel 4

Antag den räta linjen \(y=x+5\) med följande värdetabell.

Välj två godtyckliga punkter från tabellen, t.ex. \((0,\,5)\) och \((3,\,8)\). Vi sätter

$$(x_1, y_1)=(0, 5)\;\text{och}\;(x_2, y_2)=(3, 8)$$

Sätt in punkterna i formeln för att beräkna k-värdet:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-5}{3-0}=\frac{3}{3}=1$$

Vi vet att detta stämmer, då funktionen har formen \(f(x)=x+5\), dvs. har \(k=1\).

Räkna ut var linjer skär \(y\)-axeln

Härnäst ska vi visa två metoder för att ta reda på \(m\)-värdet. Den ena metoden kallas för \(k\)-form och den andra kallas för enpunktsform.

Räkna ut linjens ekvation – 2 punkter givna

När vi har två punkter för en rät linje kan vi bestämma denna räta linjes ekvation \(y=kx+m\), genom att räkna ut \(k\)-värdet och \(m\)-värdet.

Exempel

Vi använder samma exempel som för \(k\)-värdet. Vi har räknat ut \(k\)-värdet till \(1\), med punkterna \((0,\,5)\) och \((3,\,8)\). Vi sätter in \(k\)-värdet i räta linjens ekvation för att lösa ut \(m\):

$$y=kx+m=1\cdot x+m=x+m$$

$$m=y-x$$

Vi vet två punkter på linjen, vi väljer någon av dem och sätter in i ekvationen. Vi får nu en ekvation med endast en variabel, vilket vi kan lösa. Exempelvis punkten \((3,\,8)\):

$$m=8-3=5$$

Konstanterna är nu beräknade till \(k=1\) och \(m=5\). Vår räta linjens ekvation är:

$$y=kx+m=1\cdot x+5=x+5$$

Linjens ekvation är \(y=x+5\)

Exempel

I följande geogebra - graf kan man studera lutningen (\(k\)-värde) och skärning med \(y\)-axeln (\(m\)-värde) genom att dra i glidarna och flytta punkterna (\(\color{Blue}{\text{A}}\) och \(\color{Blue}{\text{B}}\)) som beräknar \(k\).

Linjens ekvation i enpunktsform

När vi känner till \(k\)-värdet och en punkt för en rät linje kan vi bestämma denna räta linjes ekvation med hjälp av enpunktsformen:

$$y-y_1=k(x-x_1)$$

Exempel

Med samma exempellinje som tidigare har vi \(k=1\) och punkten \((x_1,y_1)=(3, 8)\). För alla punkter längs den räta linjen gäller sambandet

$$k=\frac{y-y_1}{x-x_1}\Rightarrow 1=\frac{y-8}{x-3}$$

Multiplicera upp nämnaren. Det ger räta linjens ekvation i enpunktsform.

$$1\cdot(x-3)=y-8$$

Räta linjens ekvation i \(k\)-form fås genom att lösa ut \(y\)

$$y=x-3+8=x+5$$

Proportionalitet

Om ekvationen \(y=kx+m\) saknar \(m\)-värde, dvs. \(m=0\), skrivs den räta linjen

$$y=kx$$

Detta specialfall kallas proportionalitet. Det betyder att de två variablernas förhållande är konstant. Man säger att \(y\) motsvarar en konstant multipel av \(x\). Om linjen är proportionell så är \(k=\frac{y}{x}\). (\(k\) kan vara positiv eller negativ)

T.ex. om man köper en vara som kostar \(a\) kr/kg beräknas kostnaden med \(y=ax\). \(x\)-axeln representerar antal kg av varan och kostnaden på \(y\)-axeln.

Räta linjens ekvation i allmän form

Den allmänna formen är \(ax+by+c=0\) där både \(a\) och \(b\) är skilda från \(0\). Om man dividerar båda sidor med \(b\) och flyttar \(ax\) till vänstersidan erhålles \(y=(-ax)/b-c/b\) det medför att
$$k=-\frac{a}{b}\, \text{och}\;m=-\frac{c}{b}$$