Andraderivata

Låt \(f(x)=(\ln(x))^2-2\ln(x)\), för \(x>0\). Bestäm derivatan \(f'(x)\) och gör en teckentabell för derivatan. Bestäm om extrempunkterna är maximipunkter eller minimipunkter. Bestäm sedan andraderivatan \(f''(x)\) och gör en teckentabell för andraderivatan. Bestäm för vilka intervall funktionen är konkav eller konvex.

Lösningsförslag:

Vi börjar med att derivera funktionen. För att derivera första termen använder vi oss av kedjeregeln.

$$\begin{align}f'(x) = & 2\cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x}-2\cdot\frac{1}{x} \\ = & 2\cdot\frac{1}{x}(\ln(x)-1) \\ = & \frac{2}{x}(\ln(x)-1) \end{align}$$

Innan vi gör en teckentabell räknar vi först ut \(f'(x)=0\), för att få fram extrempunkterna. När vi har en teckentabell kan vi bestämma vilken typ av extrempunkter vi har.

$$\frac{2}{x}(\ln(x)-1) = 0$$

Fall 1:

$$\begin{align} \ln(x)-1 & = 0 \\ \ln(x) & = 1 \\ e^{\ln(x)} & = e^1 \\ x & = e \end{align}$$

Fall 2:

$$\frac{2}{x}=0$$

Denna ekvation saknar lösning. Vi har alltså en extrempunkt då \(x=e\). Vi gör följande teckentabell:

Utifrån tecentabellen kan vi konstatera att extrempunkten då \(x=e\) är en minimipunkt.

Vi bestämmer nu andraderivatan och vi använder oss av produktregeln:

$$\begin{align} f''(x) = & - \frac{2}{x^2}(\ln(x)-1)+\frac{2}{x}\left(\frac{1}{x}\right) \\ = & - \frac{2}{x^2}(\ln(x)-1)+\frac{2}{x^2} \\ = & \frac{2}{x^2}(-(\ln(x)-1)+1) \\ = & \frac{2}{x^2} (1-\ln(x)+1) \\ = & \frac{2(2-\ln(x))}{x^2} \end{align}$$

Innan vi gör en teckentabell räknar vi först ut \(f''(x)=0\), för att hitta infexionspunkter. När vi har en teckentabell kan vi bestämma i vilka intervall som funktionen är konkav eller konvex.

$$\frac{2(2-\ln(x))}{x^2}=0$$

Fall 1:

$$\begin{align} 2-\ln(x) & =0 \\ \ln(x) & = 2 \\ e^{\ln(x)} & = e^2 \\ x & = e^2 \end{align}$$

Fall 2:

$$\frac{2}{x^2}=0$$

Denna ekvation saknar lösning. Vi gör följande teckentabell:

Eftersom vi fick fram en inflexionspunkt då \(x=e^2\) vet vi att vi endast behöver undersöka intervallen \(x<e^2\) och \(x>e^2\), då det är i infexionspunkten som kurvan byter från att vara konkav till att bli konvex eller tvärtom. Vi läser av i teckentabellen att när

\(x<e^2\) har vi en en konvex kurva

\(x>e^2\) har vi en konkav kurva

I punkten då \(x=e^2\) är kurvan varken konkav eller konvex, den böjer sig inte alls.