Derivatan av en produkt

Hittills i det här kapitlet har vi undersökt derivatan av sammansatta funktioner och även derivatan av ett antal viktiga funktioner. I det här avsnittet ska vi studera derivatan av en produkt av funktioner och den därtill hörande produktregeln.

Produkt av funktioner

Det förekommer i många sammanhang att man har funktioner som kan ses som en produkt av två andra funktioner. Sådana funktioner kan skrivas på formen

$$f(x)=g(x)\cdot h(x)$$

Till exempel kan funktionen f(x) vara

$$f(x)=(2{x}^{2}+3x-4)\cdot (3x+5)$$

där

$$g(x)=2{x}^{2}+3x-4$$

och

$$h(x)=3x+5$$

Produktregeln

Om vi vill derivera funktionen f(x) i exemplet ovan, då kan vi beräkna produkten och sedan derivera den resulterande tredjegradsfunktionen utifrån kända deriveringsregler för polynomfunktioner.

Har vi däremot ett krångligare funktionsuttryck, till exempel

$$f(x)=3\cos\,x\cdot (2x+1)$$

är det inte uppenbart utifrån våra tidigare deriveringsregler hur vi deriverar denna produkt. Visserligen kan vi multiplicera in cosinus-faktorn i parentesen, men likväl kommer vi att gå bet på en term som utgör en produkt av två funktioner.

Dock finns det en deriveringsregel kallad produktregeln som underlättar deriveringen av en produkt av funktioner. Produktregeln säger oss att en funktion som kan skrivas på formen

$$f(x)=g(x)\cdot h(x)$$

har derivatan

$$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$$

Vi deriverar den funktion som vi tog upp i början av detta avsnitt med hjälp av produktregeln

$$f(x)=(2{x}^{2}+3x-4)\cdot (3x+5)$$

Låter vi

$$g(x)=2{x}^{2}+3x-4$$

och

$$h(x)=3x+5$$

så kan vi använda produktregeln efter att vi har deriverat de båda funktionerna g(x) och h(x).

Vi får följande derivata för respektive funktion:

$$g'(x)=4x+3$$

och

$$h'(x)=3$$

Nu känner vi till allt det vi behöver för att kunna använda produktregeln för att beräkna den ursprungliga funktionens derivata:

$$f'(x)={\color{Red}{ g'(x)}}\cdot {\color{Blue} {h(x)}}+{\color{Cyan} {g(x)}}\cdot {\color{Magenta} {h'(x)}}=$$

$$=({\color{Red} {4x+3}})\cdot ({\color{Blue}{3x+5}})+({\color{Cyan}{ 2{x}^{2}+3x-4}})\cdot ({\color{Magenta} {3}})=$$

$$=(12{x}^{2}+20x+9x+15)+(6{x}^{2}+9x-12)=$$

$$=18{x}^{2}+38x+3$$

Vi deriverar även den krångligare funktionen som vi tog upp tidigare i avsnittet med hjälp av produktregeln

$$f(x)=3cos\,x\cdot (2x+1)$$

Låter vi

$$g(x)=3cos\,x$$

och

$$h(x)=2x+1$$

så kan vi använda produktregeln efter att vi har deriverat de båda funktionerna g(x) och h(x).

Utifrån de deriveringsregler som vi kommit fram till tidigare i Matte 4-kursen, får vi följande derivata:

$$g'(x)=-3sin\,x$$

och

$$h'(x)=2$$

Nu kan vi använda produktregeln för att beräkna den ursprungliga funktionens derivata:

$$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)=$$

$$=(-3sin\,x)\cdot (2x+1)+(3cos\,x)\cdot (2)=$$

$$=-6x\cdot sin\,x-3sin\,x+6cos\,x$$

När vi nu har ett uttryck för den ursprungliga funktionens derivata, kan vi enkelt beräkna derivata för godtyckliga x-värden. Till exempel x = 0 ger oss

$$f'(0)=-6\cdot 0\cdot sin\,0-3\cdot sin\,0+6\cdot cos\,0=$$

$$=0-0+6=6$$