Uppgift 18

Vi börjar med att försöka hitta ett uttryck för $f(x)$ genom att integrera vad vi vet om $f'(x)$:

$$f'(x) < \frac{1}{2} \Rightarrow \int_0^x f'(u)du < \int_0^x \frac{du}{2}$$

$$\Rightarrow f(x) - f(0) < \frac{x}{2}$$

$$\Rightarrow f(x) < f(0) + \frac{x}{2}$$

Vi kan skriva ekvationen $f(x) = x$ på formen $f(x) - x = 0$, och använda olikheten för $f(x)$ ovan för att få:

$$f(x) - x < f(0) + \frac{x}{2} - x = f(0) - \frac{x}{2}$$

Funktionen $f(0) - \frac{x}{2}$ är kontinuerlig eftersom båda termerna är det ($f$ deriverbar $\Rightarrow$ $f$ kontinuerlig) och monotont avtagande eftersom det är en rät linje.

Eftersom en rät linje skär x-axeln i exakt en punkt har alltså $f(x)-x=0$ exakt en lösning, vilket vi skulle bevisa.