Matte 4

Här finner du all matematik som hör till gymnasieskolans kurs Matematik 4.

Matte 4 bygger vidare från mest från Matte 3, men stundtals från Matte 2, där fokus kommer ligga på funktioner och derivata, integraler och dess tillämpningar. Ett område som återkommer och som vi får fördjupa oss i är trigonometri, vi kommer dessutom introducera trigonometriska funktioner. Här nedan är de områden som är förkunskaper till Matte 4, titta gärna igenom dessa och repetera.

• Trigonometriska samband
• Enhetscirkeln
• Trigonometriska ekvationer
• Funktionsbegreppet
• Gränsvärde
• Derivata
• Integraler
• Andragradsekvationer

Allmänna kunskaper från tidigare kurser och grundskolan som alltid är bra att hålla koll på:

• Grundläggande algebra
• Prioritetsordning för räknesätten
• Negativa tal
• Faktorisera, förenkla uttryck och ekvationer
• Omkrets och area

I denna fördjupning ska vi fördjupa oss i det område som vi lärde oss om i Polynomekvationer högre grad och det kommer beröra ett av de största bråken i matematiken, mellan Tartaglia och Cardano.

Niccoló Tartaglia var en italiensk matematiker som levde under tidigt 1500-tal i Italien. Tartaglia hade en tuff uppväxt, som barn blev han attackerad när han gömde sig i en katedral med sin familj av en fransk soldat som hade varit med och invaderat Italien. Franske soldaten högg 12-åriga Niccoló i ansiktet och lämnade honom med stora ärr på käken. Som vuxen rakade han sig aldrig för att täcka ärren med sitt skägg. Dessutom påverkade skadorna hans talförmåga och han stammade hela sitt liv.  Tartaglia är inte ens hans riktiga efternamn utan ett smeknamn som kan översättas till ”stammaren”.

Tartaglias familj hade inte råd att betala för hans utbildning och fick lära upp sig helt själv. Han lyckades bra med sina självstudier då han till slut kunde undervisa andra i matematik och producera egna teorier och formler. Niccoló Tartaglia hade även framgång inom fysik och beskrev kaströrelse och fallande kroppar innan Galileo. Han översatte Arkimedes och Euklides böcker till italienska. Tartaglia hittade till och med en matematisk formel för att lösa tredjegradsekvationer. Det är här Gerolamo Cardano kommer in i bilden, för Cardano lyckades övertala Tartaglia att avslöja sin formel till honom med löftet om att han inte skulle publicera formeln. Cardano lovade dessutom att om han skulle publicera formeln för att lösa tredjegradsekvationer skulle han förvarna Tartaglia så han skulle hinna publicera den själv innan. Cardano höll inte detta löfte och här uppstod bråket som gick till historien.

Men vem var denne Cardano? Jo, ungefär ett år yngre än Tartaglia växte Cardano upp i Milano, även han med en ganska tuff uppväxt, hans föräldrar var inte gifta och att födas utanför ett äktenskap ansågs fel och skamligt på den tiden, så hans föräldrar ville egentligen inte ha honom och behandlade honom illa. Dessutom så dog alla hans tre syskon i Digerdöden och även han var sjuk ofta som liten. När Cardano skulle studera på universitetet valde han att studera, mot sin fars vilja, både filosofi och naturvetenskap med målet inriktat på att bli läkare. Men det uppstod ett hinder som stoppade honom från att bli licensierad läkare var att han föddes utanför ett äktenskap. Så även om Cardano studerat och var framstående inom biologi, fysik, kemi, astrologi och filosofi fokuserade han på matematik och undervisade i detta tills han fick bli läkare, då behöll han matematiken som en slags hobby på sidan om. Förutom det historiska bråket, som vi ska återkomma till, så blev Cardano känd även för sina framsteg i matematik, som att imaginära tal existerade (men gav dem inte ett namn eller räknade med dem) och användandet av negativa tal. Cardano blev också känd för att i princip uppfinna sannolikhetsläran, detta intresse kom från att han själv ofta spelade om pengar och skrev därför en bok om hur han använde sina matematiska förmågor för att se till att gå med vinst.

Så runt 1539 börjar Cardano och Tartaglia brevväxla om formeln för att lösa tredjegradsekvationer och efter några övertalningsförsök med mycket smicker från Cardanos sida så avslöjar Tartaglia sina lösningar, men i en dikt. Trots att Cardano lovat att inte publicera lösningen så gör han precis det, fast han skriver att det är Tartaglias lösning. Tartaglia blir ändå mycket upprörd och utmanade Cardano till en duell i matematik. Cardano tackade nej, men hans student tackade ja. Duellen avbröts och de var inte överens om vem som faktiskt vann. Det finns de som säger, men det kanske inte är sanning att Tartaglia spenderade resten av sitt liv att försöka sabotera för Cardano.

Vi avslutar med att titta på hur Tartaglia löste tredjegradsekvationer med våra moderna notationer.

Om vi har en tredjegradsekvation på formen

$$x^3 + px +q= 0$$

där \(p\) och \(q\) är reella tal och diskriminanten \(\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3\) är positiv så är den reella lösningen  

$$ x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+ \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}$$

Om diskriminanten \(\Delta\) var negativ fick vi lösningar som uttrycktes med komplexa tal, trots att lösningarna var reella. Även om Cardano förstod att imaginära tal var något som existerade, var det inte något de kunde använda.

Avslutningsvis kan vi berätta att teorin från Matte 4 används när vi studerar matematik på högskolan, om du läser vidare efter gymnasiet på något ingenjörsprogram, kandidatprogram i matematik, fysik, kemi eller ämneslärare för gymnasiet i dessa ämnen kommer du första året läsa en kurs som heter Envariabelanalys (eller något snarlikt). I denna kurs kommer du få göra en djupdykning i gränsvärden, funktioner, dess grafer, derivator, integraler och mycket trigonometri. En uppgift i denna kurs kan se ut så här:

Skissa grafen för

$$f(x)=\frac{e^x}{x^2-9}$$

och ange definitionsmängd, lokala extrempunkter och eventuella asymptoter.

Du kan ge uppgiften ett försök och sen se videon med lösningen här.

En annan uppgift som kan komma upp i en Envariabelanlyskurs kan se ut så här:

\(D\) är ett område i \(xy\)-planet som ges av

$$0 \leq y \leq \sqrt{x}e^{-x}$$

för \(x \geq 1\). Bestäm volymen hos den kropp som alstras då \(D\) roteras kring x-axeln.

Du kan ge uppgiften ett försök och sen se videon med lösningen här.