Matte 3

Här finner du all matematik som hör till gymnasieskolans kurs Matematik 3b och 3c.

Matte 3 bygger vidare från Matte 1 och 2, där fokus kommer ligga på funktioner och introduktionen av derivata, integraler och dess tillämpningar. Matte 3c läser även ett sista kapitel med Trigonometri, medan Matte 3b läser avsnitten om Linjär Optimering och Geometrisk summa. Här nedan är de områden som är förkunskaper till Matte 3, titta gärna igenom dessa och repetera.

• Konjugatregeln och kvadreringsreglerna
• Andragradsekvationer och lösningsmetoder som pq-formeln
• Potenser
• Upptäcka mönster och generella samband
• Funktionsbegreppet
• Grafer
• Parabelns ekvation
• Potenser och dess lagar
• Bråkräkning
• Geometriska begrepp för vinklar, cirklar och trianglar
• Trigonometriska förhållanden i rätvinklig triangel
• Pythagoras sats
• Räta linjen
• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Ränta och lån
  
  

Allmänna kunskaper från tidigare kurser och grundskolan som alltid är bra att hålla koll på:

• Grundläggande algebra
• Prioritetsordning för räknesätten
• Negativa tal
• Faktorisera, förenkla uttryck och ekvationer
• Omkrets och area

Fördjupning Matte 3

Här kommer vi fördjupa oss i matematikens kulturhistoria bakom innehållet i Matte 3 och även titta på hur vi kan bygga vidare på det vi lär oss i kursen i senare kurser och även högskolan. 

Vi börjar med att fördjupa oss i historien bakom Derivatan. Har du någonsin tänkt på om matematik är något som vi uppfinner eller upptäcker? Finns matematiken redan i universum och vi upptäcker vilka regler som måste följas eller är det vi människor som bestämmer det? Detta är något som både matematiker och filosofer tänkt och argumenterat om länge. Något som skulle kunna tolkas som att matematiken upptäcks är att derivatan presenterades av två matematiker nästan samtidigt, utan att de pratat med varandra, i slutet av 1600-talet.  

Dessa två matematiker var Isaac Newton (som också räknas som fysiker) från England och Gottfried Wilhelm von Leibniz från Tyskland. Leibniz var den första som publicerade sin forskning medan Newton hävdade att han skrivit ner samma teori långt tidigare men inte brytt sig om att dela det med omvärlden. Det uppstod ett stort bråk mellan vetenskapsmännen där de båda anklagade den andre att ha kopierat dennes arbete, trots att de antagligen båda två upptäckt det var för sig samtidigt.

Newton kallade derivator för fluxioner och med sin bakgrund i fysik så baserade han sin teori på föremål i rörelse där fluxionen beskriver hastigheten hos föremålet i varje punkt.

Leibniz hade från början studerat juridik och filosofi, men var en vetenskapsman inom många områden så som arkeologi, kemi, geologi och så matematik. Hans forskning i matematik fick fram både de första formerna av derivering och även integration, något som Newton aldrig nämnde. Hans notationer blev ett tag bojkottade under bråket med Newton, men nu är det notationer inom derivering och integrering som fortfarande används idag. Han skrev derivata så här, ett sätt som är vanligt inom matematik och ännu oftare inom fysik.

$$\frac{d}{dx} f(x)$$

och för integraler skrev Leibniz precis som vi gör nu.

$$\int_a^b f(x) = F(x)$$

Leibniz beskrev integralen som en summa av oändligt små indelningar av arean under en graf, dock gjorde han inte detta så noggrant utan förklarade mer hur det skulle fungera intuitivt. Senare i historien så tog en annan tysk matematiker vid namn Bernhard Riemann denna teori vidare och formulerade integralen ordentligt. Vill du veta mer hur detta fungerar kan du titta igenom avsnittet Definition av integraler, där undersöker vi just Riemanns integral.

I senare kurser kommer vi utveckla mycket av det material som vi går igenom i Matte 3.
 I Matte 4 återkommer dessa områden:

• Trigonometri, där vi kommer titta mer på trigonometriska ekvationer och olika trigonometriska förhållanden och sen introducera trigonometriska funktioner. Hur ser \(f(x) = cos(x) +2, h(x) = k\cdot sin(x)\) och \(g(x) = tan(x)\) ut?
• Derivata, där vi gräver lite djupare, hur ser derivatan ut om funktionen består av två funktioner dom multiplicerats ihop, som tex \(f(x)=x^3e^2\)? Eller en kvot? vad är derivatan av en kvot så som \(g(x) =\frac{x^2 +2}{x^4}\)?
• Skissa grafer, i denna kurs kommer vi också skissa grafer utifrån derivator och funktioner som vi kommer introduceras till.
• Integraler återkommer också, nu för mer komplicerade funktioner så som de trigonometriska funktionerna.
  
  

I Matte 5 återkommer både derivata och primitiva funktioner då vi kommer introducera Differentialekvationer, vilket är ekvationer som består av funktioner och deras derivator. Du skulle säkert kunna lösa en differentialekvation redan nu, vad är y om den ska uppfylla ekvationen nedan?

$$y = 2y’$$

Vi går vidare med hur teorin från Matte 3 används när vi studerar matematik på högskolan, om du läser vidare efter gymnasiet på något ingenjörsprogram, kandidatprogram i matematik, fysik, kemi eller ämneslärare för gymnasiet i dessa ämnen kommer du första året läsa en kurs som heter Envariabelanalys (eller något snarlikt). I denna kurs kommer du få göra en djupdykning i gränsvärden, funktioner, dess grafer, derivator och integraler. En uppgift i denna kurs kan se ut så här.

Bestäm följande gränsvärden, om de existerar:

1. $$\lim_{x \to 4}\frac{x^2-2x-8}{x^2-6x+8}$$
2. $$\lim_{x \to 0}\frac{x^2+2\cos(x)-2}{x^2-x\ln(1+x)}$$

Du kan ge uppgiften ett försök och sen se videon med lösningen här.

Avslutningsvis finns det en rolig del att fördjupa sig i när du har med dig kunskaperna från Matte 3 och det är Bézierkurvor och alla dess tillämpningar i allt från att bygga bilar till datorspel. Klicka på länken nedan till Emelie Reuterswärds hemsida matemagi.com där du kan läsa allt om Bézierkurvor, som hon kallar "De kreativa kurvornas matematik".