Uppgift 4
\(D\) är ett område i \(xy\)-planet som ges av
$$0 \leq y \leq \sqrt{x}e^{-x}$$
för \(x \geq 1\). Bestäm volymen hos den kropp som alstras då \(D\) roteras kring x-axeln.
Volymen beräknar vi med skivmetoden:
$$V = \pi \lim_{R \to \infty} \int_1^{R} y^2 dx = \pi \lim_{R \to \infty} \int_1^R xe^{-2x} dx$$
Detta är alltså en generaliserad integral eftersom minst en av integrationsgränserna är oändligt långt. Vi förenklar skrivsättet \(\lim_{R \to \infty} \int_1^R\) genom att skriva \(\int_1^{\infty}\), men det är viktigt att veta vad som avses och att det ovanstående är mer korrekt, eftersom \(\infty\) inte är ett reellt tal.
Denna integral beräknar vi hur som helst med partiell integration:
$$ = \pi \left( \frac{xe^{-2x}}{-2}\mid_1^{\infty} - \int_1^{\infty} \frac{e^{-2x}}{-2}dx \right) $$
$$ = \pi \left( 0 - \frac{e^{-2}}{-2} - \int_1^{\infty} \frac{e^{-2x}}{-2}dx \right) $$
$$ = \pi \left( \frac{e^{-2}}{2} - \int_1^{\infty} \frac{e^{-2x}}{-2}dx \right) $$
$$ = \pi \left( \frac{e^{-2}}{2} - \frac{e^{-2x}}{4}\mid_1^{\infty} \right) $$
$$ = \pi \left( \frac{e^{-2}}{2} - \frac{e^{-2x}}{4}\mid_1^{\infty} \right) $$
$$ = \pi \left( \frac{e^{-2}}{2} - (0 - \frac{e^{-2}}{4}) \right) $$
$$ = \pi \left( \frac{e^{-2}}{2} + \frac{e^{-2}}{4} \right) $$
$$ = \frac{3 \pi e^{-2}}{4} $$
$$ = \frac{3 \pi }{4 e^2} $$
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.