Uppgift 4
D är ett område i xy-planet som ges av
0≤y≤√xe−x
för x≥1. Bestäm volymen hos den kropp som alstras då D roteras kring x-axeln.
Volymen beräknar vi med skivmetoden:
V=πlimR→∞∫R1y2dx=πlimR→∞∫R1xe−2xdx
Detta är alltså en generaliserad integral eftersom minst en av integrationsgränserna är oändligt långt. Vi förenklar skrivsättet limR→∞∫R1 genom att skriva ∫∞1, men det är viktigt att veta vad som avses och att det ovanstående är mer korrekt, eftersom ∞ inte är ett reellt tal.
Denna integral beräknar vi hur som helst med partiell integration:
=π(xe−2x−2∣∞1−∫∞1e−2x−2dx)
=π(0−e−2−2−∫∞1e−2x−2dx)
=π(e−22−∫∞1e−2x−2dx)
=π(e−22−e−2x4∣∞1)
=π(e−22−e−2x4∣∞1)
=π(e−22−(0−e−24))
=π(e−22+e−24)
=3πe−24
=3π4e2
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.