Uppgift 6

Vi gör partialbråksuppdelning av integranden. Nämnaren är lätt att faktorisera, $x^3-4x = x(x+2)(x-2)$. Därför kan vi skriva integranden som:

$$\frac{x^2+x+1}{x(x+2)(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-2}$$

för några reella konstanter $A,B,C$. Vi skriver på gemensam nämnare:

$$\frac{Ax^2 - 4A + Bx^2 - 2xB + Cx^2 + 2xC}{x(x+2)(x-2)}$$

$$=\frac{x^2(A+B+C) + x(-2B + 2C) - 4A}{x(x+2)(x-2)}$$

Genom att matcha koefficienter i detta uttryck med det ursprungliga får vi ett linjärt ekvationssystem:

$$-4A = 1, -2B + 2C = 1, A+B+C = 1$$

som har lösningarna $A = \frac{-1}{4}$, $B = \frac{3}{8}$, $C = \frac{7}{8}$. Insättning i integranden ger:

$$\int \left( \frac{-1}{4} \frac{1}{x} + \frac{3}{8} \frac{1}{x+2} + \frac{7}{8} \frac{1}{x-2} \right) dx$$

$$= \frac{-1}{4} \ln |x| + \frac{3}{8} \ln |x+2| + \frac{7}{8} \ln |x-2| + D$$

Vill vi kan vi med logaritmlagarna förenkla uttrycket till

$$= \frac{1}{8} \ln \left( \frac{(x+2)^3(x-2)^7}{x^2} \right) + D$$