Uppgift 18

För att diagonalisera $A$ behöver vi hitta egenvärden till $A$, genom att bestämma lösningar till $\det(A - \lambda I) = 0$:

$$\left| \begin{matrix} 1-\lambda & 2 & 2 \\ 1 & 1-\lambda & 3 \\ 1 & -1 & 5-\lambda \end{matrix} \right|$$

$$= (1-\lambda)((1-\lambda)(5-\lambda)+3) - 2((5-\lambda)-3)$$ $$+ 2 (-1 - (1-\lambda))$$

$$= \lambda(\lambda^2 - 7\lambda + 10) = 0$$

Som har lösningarna $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 5$ och $\lambda_3 = 2$. Eftersom alla egenvärden är unika (har multiplicitet ett) så är $A$ diagonaliserbar.

$$D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

För att hitta den diagonaliserande matrisen $S$ behöver vi hitta egenvektorerna som motsvarar respektive egenvärde. Det gör vi genom att lösa:

$$(A - \lambda_i I)x_i = 0$$

där $x_i$ är egenvektorn till egenvärdet $\lambda_i$. Insättning av $\lambda_1=0$ ger till exempel:

$$(A - 0I)x = Ax = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 &3 \\ 1 & -1 &5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Med lösningen $x_1 = t(-4,1,1)^T$, som fås med hjälp av t.ex. Gauss-Jordan-eliminiation av detta ekvationssystem. På samma sätt ges följande egenvektorer:

$$\lambda = \lambda_2=5: x_2 = t(1,1,1)^T$$

$$\lambda = \lambda_3=2: x_3 = t(-8,-5,1)$$

Se videon för en utförlig uträkning av varje egenvektor.

Egenvektorerna bildar nu kolonnerna i matrisen $S$:

$$S = \begin{pmatrix} -4 & 1 & -8 \\ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Därmed har vi bestämt matrisen $S$ som diagonaliserar $A$ till $D$. Bästa sättet för att kontrollera att du räknat rätt är att hitta inversen $S^{-1}$, beräkna produkten $S^{-1}AS$ och se att du faktiskt får $D$.