Uppgift 8
Låt $$P_{1} : (1,0,0),\, P_{2}:(0,1,0),\, P_{3}: (0,0,1),\, P_{4}:(0,0,0)$$
- Bestäm en ekvation på affin form för planet \(\pi\) genom punkterna \(P_{1}, P_{2}\) och \(P_{3}\)
- Bestäm det minsta avståndet mellan punkten \(P_{4}\) och planet\(\pi\) och ange den punkt i \(\pi\) som ligger närmast \(P_{4}\).
Vi kan beräkna normalvektorn som kryssprodukten av två vektorer i planet.
$$n = (P_1P_2) \times (P_1P_3) = (-1, 0, 1) \times (1,1,0)$$
$$ = \left( \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array} \right|, -\left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -1 & 0\end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -1 & 0\end{array} \right| \right)$$
$$ = (-1, -1, -1)$$
För ett plan \(ax + by + cz + d=0\) så är \((a,b,c)\) en normalvektor, så insättning ger:
$$-x -y -z + d = 0 \Leftrightarrow x + y + z -d = 0$$
För att hitta värdet på \(d\) sätter vi in koordinaterna för punkten \(P_1\):
$$1 + 0 + 0 - d = 0 \Rightarrow d=1$$
Så ekvationen för planet \(\Pi\) är:
$$\Pi: x+y+z-1 = 0$$
För att hitta kortaste avståndet till punkten \(P_4 = (0,0,0)\) beräknar vi vektorn från någon punkt i planet (till exempel \(P_1\)) och projicerar den längs normalvektorn, då vet vi kortast möjliga rörelse från planet till punkten.
$$v = proj_n P_1P_4 = \frac{(P_1P_4) \cdot n}{||n||^2}n$$ $$= \frac{(-1,0,0) \cdot (1,1,1)}{3}(1,1,1) = (\frac{1}{3}(1,1,1)$$
Längden av denna vektor ger kortaste sträckan:
$$||v|| = \frac{1}{3}\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
För att hitta punkten \(Q\) i planet som är närmast \(P_4\) kan vi utnyttja följande likhet:
$$(OQ) = (OP_1) + (P_1P_4) - (P_4Q)$$
$$ = (1,0,0) + (-1,0,0) - \frac{-1}{3}(1,1,1)$$
$$ = \frac{1}{3}(1,1,1)$$
Så \(Q = \frac{1}{3}(1,1,1)\).
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.