Uppgift 8

Vi kan beräkna normalvektorn som kryssprodukten av två vektorer i planet.

$$n = (P_1P_2) \times (P_1P_3) = (-1, 0, 1) \times (1,1,0)$$
$$= \left( \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array} \right|, -\left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -1 & 0\end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -1 & 0\end{array} \right| \right)$$
$$= (-1, -1, -1)$$

För ett plan $ax + by + cz + d=0$ så är $(a,b,c)$ en normalvektor, så insättning ger:

$$-x -y -z + d = 0 \Leftrightarrow x + y + z -d = 0$$

För att hitta värdet på $d$ sätter vi in koordinaterna för punkten $P_1$:

$$1 + 0 + 0 - d = 0 \Rightarrow d=1$$

Så ekvationen för planet $\Pi$ är:

$$\Pi: x+y+z-1 = 0$$

För att hitta kortaste avståndet till punkten $P_4 = (0,0,0)$ beräknar vi vektorn från någon punkt i planet (till exempel $P_1$) och projicerar den längs normalvektorn, då vet vi kortast möjliga rörelse från planet till punkten.

$$v = proj_n P_1P_4 = \frac{(P_1P_4) \cdot n}{||n||^2}n$$ $$= \frac{(-1,0,0) \cdot (1,1,1)}{3}(1,1,1) = (\frac{1}{3}(1,1,1)$$

Längden av denna vektor ger kortaste sträckan:

$$||v|| = \frac{1}{3}\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

För att hitta punkten $Q$ i planet som är närmast $P_4$ kan vi utnyttja följande likhet:

$$(OQ) = (OP_1) + (P_1P_4) - (P_4Q)$$

$$= (1,0,0) + (-1,0,0) - \frac{-1}{3}(1,1,1)$$

$$= \frac{1}{3}(1,1,1)$$

Så $Q = \frac{1}{3}(1,1,1)$.