Uppgift 1

Vi vet följande om logaritmfunktionen:

$$\ln(1) = 0$$
$$\lim_{x \to 0+} \ln(x) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty$$

På det viset kan vi skissa upp dess graf och vet att punkten vi söker har $x > 1$. Vi kallar detta $x$-värde för $a$.

Tangenten är en rät linje genom $(a, f(a))$ och kan därmed skrivas på följande form:

$$y - f(a) = k(x-a)$$

I det här fallet vet vi att $f(a) = \ln(a)$ samt att $k$ är lutningen, det vill säga derivatan, $f'(a) = \frac{1}{a}$. Det ger oss:

$$y - \ln(a) = \frac{1}{a}(x-a)$$

$$\Leftrightarrow y = -1 + \frac{x}{a} + \ln(a)$$ .

Eftersom $(x,y) = (0,0)$ är en punkt på tangenten kan vi sätta in dessa värden i ovanstående ekvation och får:

$$0 = -1 + \frac{0}{a} + \ln(a) \Leftrightarrow \ln(a) = 1 \Leftrightarrow a = e$$

Eftersom $f(e) = \ln(e) = 1$ vet vi att tangentens skärningspunkt är $(e,1)$ och rätt svar är alltså $x = e$.