Uppgift 2
Lös differentialekvationerna:
- y2y′=arctan(x)
- x2y′+xy=1, med villkoret y(1)=0
Den första differentialekvationen är separabel:
y2dydx=arctan(x)⇔y2dy=arctan(x)dx
Vi integrerar båda led med hjälp av partiell integration:
y33=∫arctan(x)dx=xarctan(x)−∫x1+x2dx=xarctan(x)−12ln|1+x2|+C
Ur detta får vi:
y3=3xarctan(x)−32ln|1+x2|+3C
y=(3xarctan(x)−32ln|1+x2|+3C)1/3
Den andra differentialekvationen är inte separabel, men vi kan skriva den på formen y′+g(x)y=f(x) och lösa med integrerande faktor. Dividerar vi båda led i ekvationen med x2 får vi
y′+1xy=1x2
som alltså är på rätt form. Den integrerande faktorn μ(x) är
μ(x)=e∫dxx=eln(x)=x
och multiplicerar vi hela differentialekvationen med detta blir den:
xy′+y=1x
Poängen är att ddx(μ(x)y)=μ(x)f(x), och genom att integrera med avseende på x får vi:
xy=∫dxx=ln|x|+C
⇔y=ln|x|+Cx
Konstanten C ges av villkoret \(y(1) = 0$:
0=y(1)=ln|1|+C1=C
Så med C=0 har vi lösningen:
y=ln|x|x
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.