Uppgift 10
Låt:
f(x)={sin(x)xx>0kx+mx≤0
Bestäm k och m så att funktionen f är kontinuerlig och deriverbar för x=0.
Enligt definition har vi att f är kontinuerlig omm vänster- och högergränsvärde är lika. Det betyder att
lim
Så därmed vet vi att m=1.
Enligt definition har vi att f är deriverbar omm
\lim_{x \to 0+} f'(x) = \lim_{x \to 0-} f'(x) \Leftrightarrow \lim_{x \to 0+} \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0-} k = k
Genom att förenkla och sedan använda Maclaurinserierna för \cos(x) och \sin(x) får vi:
k = \lim_{x \to 0+} \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0+} \left( \frac{\cos(x)}{x} - \frac{\sin(x)}{x^2} \right) =
= \lim_{x \to 0+} \left( \frac{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots}{x} - \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{x^2} \right) =
= \lim_{x \to 0+} \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{2!} + \frac{x^3}{4!} - ... - \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{3!} + \frac{x^3}{5!} - \dots \right) \right) = 0
Alla termer med x i nämnaren går mot noll, och \frac{1}{x} och -\frac{1}{x} tar ut varandra. Kvar blir ingenting.
Därmed har vi att k=0 och sedan tidigare m=1, och vi är klara.
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.