Uppgift 10

Enligt definition har vi att $f$ är kontinuerlig omm vänster- och högergränsvärde är lika. Det betyder att

$$\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0-} f(x) \Leftrightarrow \lim_{x \to 0+} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0-} kx+m \Leftrightarrow 1 = m$$

Så därmed vet vi att $m=1$.

Enligt definition har vi att $f$ är deriverbar omm

$$\lim_{x \to 0+} f'(x) = \lim_{x \to 0-} f'(x) \Leftrightarrow \lim_{x \to 0+} \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0-} k = k$$

Genom att förenkla och sedan använda Maclaurinserierna för $\cos(x)$ och $\sin(x)$ får vi:

$$k = \lim_{x \to 0+} \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0+} \left( \frac{\cos(x)}{x} - \frac{\sin(x)}{x^2} \right) =$$

$$= \lim_{x \to 0+} \left( \frac{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots}{x} - \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{x^2} \right) =$$

$$= \lim_{x \to 0+} \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{2!} + \frac{x^3}{4!} - ... - \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{3!} + \frac{x^3}{5!} - \dots \right) \right) = 0$$

Alla termer med $x$ i nämnaren går mot noll, och $\frac{1}{x}$ och $-\frac{1}{x}$ tar ut varandra. Kvar blir ingenting.

Därmed har vi att $k=0$ och sedan tidigare $m=1$, och vi är klara.