Uppgift 11

Om vi låter $a=0$ har vi $f(x) = 3x^3 + 2$. Låt nu $y = 3x^3 + 2$ och bryt ut x:

$$y = 3x^3 + 2 \Leftrightarrow y-2 = 3x^3 \Leftrightarrow \frac{y-2}{3} = x^3 \Leftrightarrow \left( \frac{y-2}{3} \right)^{1/3} = x$$

Därmed har vi inversen $f^{-1}(y) = \left( \frac{y-2}{3} \right)^{1/3}$.

För ekvivalensen kan vi använda vetskapen att $f$ inverterbar är ekvivalent med att $f$ är injektiv. Injektivitet betyder att

$$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$$

Detta kan vi använda. Vi vet ju att $f(0) = 3 \cdot 0^3 + a \cdot 0^2 + 2 = 2$. Finns det något annat $x$ så att $f(x) = 2$, men att $x \neq 0$? I så fall vet vi att $f$ ej är injektiv och därmed ej inverterbar.

$$2 = f(x) = 3x^3 + ax^2 + 2 \Leftrightarrow 3x^3 + ax^2 = 0$$

$$3x^3 + ax^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(3x+a) = 0$$

Enligt nollproduktsmetoden vet vi alltså att $x^2 = 0$ eller $3x+a = 0$, eller ekvivalent $x=0$ eller $x = \frac{-a}{3}$. Men eftersom $a \geq 0$ kan vi ha något $x > 0$ så att $f(x) = 2$, och därmed är $f$ inte injektiv och därmed ej inverterbar (om inte $a=0$).