Uppgift 12

Låt $r = r(t)$ vara radien vid tiden $t$. Från uppgiften har vi $v'(t) = \frac{dV}{dt} = kr^3$.

Volymen av ett klot med radie $r$ är

$$V = \frac{4 \pi r^3}{3}$$ vilket ger: $$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$$

Enligt kedjeregeln har vi

$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} \Leftrightarrow kr^3 = 4 \pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}$$

Detta är en separabel differentialekvation. Vi kan dividera med $r$ eftersom den inte är $0$ och får till slut:

$$\frac{k}{4 \pi}dt = \frac{dr}{r} \Leftrightarrow \ln(r) = \frac{kt}{4 \pi} + C \Leftrightarrow r(t) = De^{\frac{kt}{4 \pi}}$$

för någon konstant $D$. Insättning ger:

$$V(t) = \frac{4 \pi r(t)^3}{3} = \frac{4 \pi}{3} \cdot \left( De^{\frac{kt}{4 \pi}} \right)^3 = \frac{4 \pi}{3} \cdot D^3 e^{\frac{3kt}{4 \pi}}$$

Nu återstår att bestämma konstanerna $D$ och $k$. Från det ena villkoret, $V(0) = 1000$, får vi:

$$1000 = V(0) = \frac{4 \pi}{3} \cdot D^3 e^{\frac{3k \cdot 0}{4 \pi}} = \frac{4 \pi}{3} \cdot D^3 \cdot 1$$

$$\Leftrightarrow D^3 = \frac{3000}{4 \pi}$$

Från det andra villkoret, $V'(0) = -10$, får vi:

$$-10 = \frac{dV}{dt} |_{t=0} = kr(0)^3 = k \cdot D^3 \cdot e^{\frac{3k \cdot 0}{4 \pi}} = k \cdot D^3 \cdot 1$$

$$\Leftrightarrow -10 = k \cdot \frac{3000}{4 \pi} \Leftrightarrow k = \frac{-4 \pi}{300}$$

Alltså har vi konstanterna $k$ och $D$, vilket genom insättning ger svaret:

$$V(t) = 1000e^{\frac{-t}{100}}$$