Uppgift 12
Volymen av ett klot med radie \(r\) minskar med en hastighet som är proportionell mot \(r^3\). Bestäm klotets volym som en funktion av tiden, \(V(t)\), om du vet att:
$$V(0) = 1000$$ $$V'(0) = -10$$
Låt \(r = r(t)\) vara radien vid tiden \(t\). Från uppgiften har vi \(v'(t) = \frac{dV}{dt} = kr^3\).
Volymen av ett klot med radie \(r\) är $$V = \frac{4 \pi r^3}{3}$$ vilket ger: $$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$$
Enligt kedjeregeln har vi
$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} \Leftrightarrow kr^3 = 4 \pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}$$
Detta är en separabel differentialekvation. Vi kan dividera med \(r\) eftersom den inte är \(0\) och får till slut:
$$\frac{k}{4 \pi}dt = \frac{dr}{r} \Leftrightarrow \ln(r) = \frac{kt}{4 \pi} + C \Leftrightarrow r(t) = De^{\frac{kt}{4 \pi}}$$
för någon konstant \(D\). Insättning ger:
$$V(t) = \frac{4 \pi r(t)^3}{3} = \frac{4 \pi}{3} \cdot \left( De^{\frac{kt}{4 \pi}} \right)^3 = \frac{4 \pi}{3} \cdot D^3 e^{\frac{3kt}{4 \pi}}$$
Nu återstår att bestämma konstanerna \(D\) och \(k\). Från det ena villkoret, \(V(0) = 1000\), får vi:
$$1000 = V(0) = \frac{4 \pi}{3} \cdot D^3 e^{\frac{3k \cdot 0}{4 \pi}} = \frac{4 \pi}{3} \cdot D^3 \cdot 1$$
$$\Leftrightarrow D^3 = \frac{3000}{4 \pi}$$
Från det andra villkoret, \(V'(0) = -10\), får vi:
$$-10 = \frac{dV}{dt} |_{t=0} = kr(0)^3 = k \cdot D^3 \cdot e^{\frac{3k \cdot 0}{4 \pi}} = k \cdot D^3 \cdot 1$$
$$\Leftrightarrow -10 = k \cdot \frac{3000}{4 \pi} \Leftrightarrow k = \frac{-4 \pi}{300}$$
Alltså har vi konstanterna \(k\) och \(D\), vilket genom insättning ger svaret:
$$V(t) = 1000e^{\frac{-t}{100}}$$
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.