Uppgift 13
Beräkna volymen av rotationskroppen som genereras av området mellan kurvan
y=4x3+2x2−x+13(1≤x≤4)
och x-axeln, vid rotation kring y-axeln.
Först kontrollerar vi att grafen inte skär x-axeln. Eftersom
y(1)=4+2−1+13=5+13>0
och
y′(x)=12x2+4x−1>0
för x≥1 vet vi att den inte gör det. Därmed kan vi gå vidar eoch beräkna volymen med skalmetoden:
V=2π∫41xydx=2π∫41(4x4+2x3−x2+x3)dx
=2π(4x55+2x44−x33+x26)41
=2π(4⋅10245+2⋅2564−643+166−(45+24−13+16))
=2π(40925+5104−633+156)
=2π⋅46375
=9274π5
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.