Uppgift 14
Bestäm följande gränsvärden, om de existerar:
- $$\lim_{x \to 4}\frac{x^2-2x-8}{x^2-6x+8}$$
- $$\lim_{x \to 0}\frac{x^2+2\cos(x)-2}{x^2-x\ln(1+x)}$$
För uppgift (a) kan vi faktorisera täljaren till \((x+2)(x-4)\) och nämnaren till \((x-4)(x-2)\) vilket gör att vi kan förkorta med \((x-4)\). Kvar är då:
$$\lim_{x \to 4}\frac{(x+2)}{(x-2)} = \frac{4+2}{4-2} = \frac{6}{2} = 3$$
För uppgift (b) använder vi följande Macluarinserier:
$$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$$
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2!} + \dots$$
Insättning ger:
$$\lim_{x \to 0}\frac{x^2 + 2\cos(x) - 2}{x^2 - x\ln(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2\left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \right) - 2}{x^2 - x\left(x - \frac{x^2}{2!} + \dots\right)} = $$
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{12} + \mathcal{O}(x^6)}{\frac{x^3}{2} + \mathcal{O}(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{12} + \mathcal{O}(x^3)}{\frac{1}{2} + \mathcal{O}(x)} = \frac{0}{1/2} = 0$$
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.