Uppgift 14

För uppgift (a) kan vi faktorisera täljaren till $(x+2)(x-4)$ och nämnaren till $(x-4)(x-2)$ vilket gör att vi kan förkorta med $(x-4)$. Kvar är då:

$$\lim_{x \to 4}\frac{(x+2)}{(x-2)} = \frac{4+2}{4-2} = \frac{6}{2} = 3$$

För uppgift (b) använder vi följande Macluarinserier:

$$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$$

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2!} + \dots$$

Insättning ger:

$$\lim_{x \to 0}\frac{x^2 + 2\cos(x) - 2}{x^2 - x\ln(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2\left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \right) - 2}{x^2 - x\left(x - \frac{x^2}{2!} + \dots\right)} =$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{12} + \mathcal{O}(x^6)}{\frac{x^3}{2} + \mathcal{O}(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{12} + \mathcal{O}(x^3)}{\frac{1}{2} + \mathcal{O}(x)} = \frac{0}{1/2} = 0$$