Uppgift 15

Enligt definition är Taylorpolynomet av grad tre:

$$P_3(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3$$

Med $a=0$ blir det:

$$P_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \frac{f'''(0)}{6}x^3$$

Vi deriverar tre gånger:

$$f'(x) = \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)} - 1$$

$$f''(x) = \frac{(-\sin(x))(1 + \sin(x)) - \cos(x)\cos(x)}{(1+\sin(x))^2} =$$ $$\dots = \frac{-1}{1 + \sin(x)}$$

$$f'''(x) = \frac{\cos(x)}{(1 + \sin(x))^2}$$

Här har vi använt kvotregeln för derivator samt trigonometriska ettan för att förenkla. Ur dessa uttryck får vi $f(0) = 2, f'(0) = 0, f''(0) = -1, f'''(0) = 1$. Genom insättning får vi:

$$P_3(x) = 2 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$$

Eftersom Taylorpolynomet är en approximation av funktionen nära en punkt, i detta fall $x=0$, kan vi säga att väldigt nära noll gäller:

$$f(x) \approx 2 - \frac{x^2}{2} + \mathcal{O}(x^3)$$

Eftersom funktionen $2 - \frac{x^2}{2}$ är en andragradsfunktion med en lokal maxpunkt i $x=0$ kan vi sluta oss till att även $f(x)$ har det.