Uppgift 16

Exponentialfunktionen $e^x$ växer fortare än ett polynom, så för extrema x-värden är det den funktionen som dominerar. Det gör att vi kan bestämma gränsvärden

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$$

Så till vänster har vi en horisontell asymptot $y=0$, men till höger ingen asymptot eftersom $e^x$ växer snabbare än något polynom, speciellt räta linjer.

På grund av $x^2$ i nämnaren så existerar inte värdet på $f(0)$. Vi kan dock beräkna gränsvärdet mot noll och får:

$$\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0+} f(x) = \infty$$

Detta eftersom både nämnare och täljare alltid är ickenegativa. Så vi har också en vertikal asymptot $x=0$.

Vi deriverar (med kvotregeln):

$$f'(x) = \frac{e^xx^2 - e^x2x}{(x^2)^2} = \frac{xe^x(x-2)}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$$

Uttrycket är lika med noll om och endast om $x=2$. Genom att göra en teckenstudie (eller genom att kontrollera andraderivatans tecken i $x=2$ får vi fram att $x=2$ är en minimipunkt. Den har där värdet $f(2) = \frac{e^2}{4}$.

Ekvationen $e^x = ax^2$ kan skrivas om som $a = \frac{e^x}{x^2} = f(x)$. Eftersom $a$ är någon reell konstant är det lätt att hitta skärningspunkter mellan den horisontella linjen $y=a$ och grafen till $y=f(x)$.

Funktionen är aldrig icke-positiv, så för $a \leq 0$ finns inga lösningar. Genom minimipunkten finns det två lösningar, och i de andra intervallen $(0, \frac{e^2}{4})$ och $(a, \infty)$ finns det en respektive tre lösningar till ekvationen, vilket är tydligt från grafen som ritas upp i videon.