Uppgift 17

Visa att

n=1pp2+n2<π2

för alla reella p.
 

Vi låter an=pp2+n2 och därmed är uppgiften att visa att n=1an<π2. Med p=0 är summan noll och därmed är lösningen trivial.

Därför antar vi att p0. I så fall är a0=pp2=1p och sedan har vi a0>a1>a2> eftersom nämnaren blir större och större. Vi säger att an är (strikt) monotont avtagande.

Vi kan illustrera dessa tal som rektanglar där en sida har längden 1 och den andra sidan a1,a2,a3,, vilket gör att deras area är a1,a2,a3,. Alla dessa får plats under grafen till funktionen:

f(x)=pp2+x2

Därför kan vi säga att arean av rektanglarna är mindre än arean under hela grafen, med andra ord:

n=1pp2+n2<0pp2+x2dx

Integralen kan vi beräkna!

0pp2+x2dx=01p+x2pdx=1p011+(xp)2dx

Gör variabelsubstitutionen u=xp, du=dxp:

0du1+u2=limRR0du1+u2

=limR(arctan(u))R0=limR(arctan(R)arctan(0))

=π20=π2

Eftersom summan är mindre än integralen kan vi därmed säga att

n=1pp2+n2<π2<

och därmed konvergerar summan mot något tal. Vi vet inte exakt vad, men det är ett ändligt, reellt tal.


Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.

Har du en fråga du vill ställa om Uppgift 17? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se