Uppgift 17

Vi låter $a_n = \frac{p}{p^2+n^2}$ och därmed är uppgiften att visa att $\sum_{n=1}^{\infty} a_n < \frac{\pi}{2}$. Med $p=0$ är summan noll och därmed är lösningen trivial.

Därför antar vi att $p \neq 0$. I så fall är $a_0 = \frac{p}{p^2} = \frac{1}{p}$ och sedan har vi $a_0 > a_1 > a_2 > \dots$ eftersom nämnaren blir större och större. Vi säger att $a_n$ är (strikt) monotont avtagande.

Vi kan illustrera dessa tal som rektanglar där en sida har längden $1$ och den andra sidan $a_1, a_2, a_3, \dots$, vilket gör att deras area är $a_1, a_2, a_3, \dots$. Alla dessa får plats under grafen till funktionen:

$$f(x) = \frac{p}{p^2 + x^2}$$

Därför kan vi säga att arean av rektanglarna är mindre än arean under hela grafen, med andra ord:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p}{p^2 + n^2} < \int_{0}^{\infty} \frac{p}{p^2 + x^2}dx$$

Integralen kan vi beräkna!

$$\int_{0}^{\infty} \frac{p}{p^2 + x^2}dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{p + \frac{x^2}{p}}dx = \frac{1}{p}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{p}\right)^2}dx$$

Gör variabelsubstitutionen $u = \frac{x}{p}$, $du = \frac{dx}{p}$:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{du}{1+u^2} = \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} \frac{du}{1+u^2}$$

$$= \lim_{R \to \infty} \left( \arctan(u) \right)_0^R = \lim_{R \to \infty} \left(\arctan(R) - \arctan(0)\right)$$

$$= \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$

Eftersom summan är mindre än integralen kan vi därmed säga att

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p}{p^2 + n^2} < \frac{\pi}{2} < \infty$$

och därmed konvergerar summan mot något tal. Vi vet inte exakt vad, men det är ett ändligt, reellt tal.