Uppgift 3

Definitionsmängden är alla $x$ där, i det här fallet, nämnaren inte är noll, det vill säga $x^2 - 9 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 3$.

Med hjälp av kvotregeln blir derivatan

$$f'(x) = \frac{-2xe^x + (x^2 - 9)e^x}{(x^2-9)^2} = \frac{e^x(x^2 - 2x - 9)}{(x^2-9)^2}$$

Eftersom funktionen är deriverbar i hela definitionsmängden har vi extrempunkter i stationära punkter, alltså där $f'(x) = 0$, vilket är där:

$$x^2 - 2x - 9 = 0\Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{10}$$

Notera att $e^x$ inte är noll för något reellt$x$.

Med hjälp av teckenstudium (eller genom att kontrollera andraderivatans tecken) ser vi att $x = 1 - \sqrt{10}$ är en maximipunkt och $x = 1 + \sqrt{10}$ är en minimipunkt.

Lodräta asymptoter finns i $x = \pm 3$.

Det finns ingen sned asymptot för $\lim_{x \to \infty} f(x)$ eftersom exponentialfunktionen i täljaren växer mycket snabbare än de andra polynomfaktorerna i $f$. Men vi kan däremot se att

$$\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$$

så $y=0$ är en horisontell asymptot då $x \to -\infty$.