Uppgift 8

Vi kallar summorna för $S_a$ och $S_b$, och vi kan skriva om dem som:

$$S_a = 10^{100} \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1 + n\sqrt{n}} = 10^{100} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

$$S_b = 0,001 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n + \sqrt{n}} = 0,001 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} c_n$$

Konstanterna framför summorna är oväsentlig, det som avgör om summan konvergerar ligger i $a_n$ respektive $c_n$.

Vi jämför serien $a_n$ med p-serien $b_n = \frac{1}{n^{1,5}}$. Eftersom $p=1,5>1$ konvergerar summan $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$. Vi använder jämförelsekriteriet:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/(1+n^{1,5})}{1/(n^{1,5})} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{1,5}}{1+n^{1,5}} =$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n^{1,5}}} = 1$$

Därmed konvergerar också $S_a$.

På samma sätt använder vi jämförelsekriteret med den harmoniska serien $d_n = \frac{1}{n}$.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{d_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/(1+n+\sqrt{n})}{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{1+n+\sqrt{n}} =$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+1+\frac{1}{\sqrt{n}}} = \frac{1}{1} = 1$$

Vilket innebär att $S_b$ divergerar mot oändligheten.