Uppgift 9

Vi kan börja med att förenkla uttrycket vi summerar:

$$\frac{n^3\sin(1/n)}{n^4+n+1} \leq \frac{n^3\sin(1/n)}{n^4+n} = \frac{n^2\sin(1/n)}{n^3+1} \leq \frac{n^2\sin(1/n)}{n^3}$$

Sedan använder vi ett litet trick med variabelsubstitutionen $t = 1/n$,

$$n \sin(1/n) = \frac{\sin(1/n)}{1/n} = \frac{\sin(t)}{t} = 1$$

då $t \to 0 \Leftrightarrow n \to \infty$. Med andra ord, för $n \to \infty$ kan vi säga att $n \sin(1/n) \to 1$.

Detta ger oss att det måste finnas ett $N$ så att, för alla $n>N$ har vi $n \sin(1/n) < 2$. Just konstanten $2$ spelar ingen roll, men vi vet ändå detta. Då kan vi återigen förenkla uttrycket vi summerar:

$$\frac{n^2\sin(1/n)}{n^3} \leq \frac{n \cdot 2}{n^3} = \frac{2}{n^2}$$

Notera att

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^2}$$

konvergerar (det är en p-serie med $p=2>1$) och enligt jämförelsekriteriet ser vi att den ursprungliga summan, som är mindre, också konvergerar.