Uppgift 1

Planet har en ekvation på formen $ax + by + cz + d = 0$ för några konstanter $a,b,c,d$. Sätt in punkterna $(1,2,0)$, $(-1,3,1)$, $(-1,1,2)$ som värden för $x,y,z$ för att erhålla ekvationssystemet:

$$a + 2b + d = 0$$
$$-a + 3b + c + d = 0$$
$$-a + b + 2c + d = 0$$

Detta är ett överbestämt ekvationssystem, men i detta fall gör det ingenting. Vi kan bestämma en given variabel godtyckligt, här $b=2$, och lösa ekvationssystemet för att få:

$$a = 3$$
$$b = 2$$
$$c = 4$$
$$d = -7$$

Notera att det också går att beräkna normalvektorn till planet genom kryssprodukten:

$$n = PQ \times PR = (-2,1,1) \times (-2, -1, 2) = (3,2,4)$$ Detta ger koefficienterna $a,b,c$. Insättning av någon punkt gör att vi kan lösa ut värdet på $d$.

Hur som helst blir ekvationen för planet:

$$3x + 2y + 4z - 7 = 0$$

Avståndet till origo $(0,0,0)$ ges av formeln

$$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cy_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Här är $(x_0,y_0,z_0) = (0,0,0)$ och resten av koefficienterna är kända:

$$D = \frac{|-7|}{\sqrt{3^2+2^2+4^2}} = \frac{7}{\sqrt{29}}$$