Uppgift 2
- Beräkna vinkeln mellan vektorerna x och y då x=(8,−5,3) och y=(2,−3,6).
- Bestäm två nya vektorer u och v sådana att y=u+v, där u är parallell med x och v är otrogonal mot x.
a) Den inre produkten av x⋅y kan beräknas på två sätt. Först
x⋅y=x1y1+x2y2+x3y3=8⋅2+−5⋅−3+3⋅6=16+15+18=49
samt
x⋅y=||x||⋅||y||⋅cos(θ)
där θ är vinkeln mellan de två vektorerna. De euklidiska normerna av vektorerna x och y räknar vi ut först:
||x||=√82+(−5)2+32=√98
||y||=√22+(−3)2+62=√49
Insättning ger:
49=√98√49cos(θ)
⇔cos(θ)=49√98√49=√4998=1√2
⇔θ=arccos(1√2)=π4
b) Att y=u+v där u är parallell med x och v är ortogonal mot x kan sammanfattas med att u är projiceringen av y längs x.
projxy=x⋅y||x||2x=4998x=12(8,−5,3)
Eftersom både y och nu u är kända kan vi räkna ut v:
v=y−u=(2,−3,6)−12(8,−5,3)=12(−4,−1,9)
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.