Uppgift 2

a) Den inre produkten av \(x \cdot y\) kan beräknas på två sätt. Först

$$\begin{align} x \cdot y & = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 \\ & = 8\cdot2 + -5 \cdot -3 + 3\cdot6 \\ & = 16+15+18 = 49 \end{align}$$

samt

$$x \cdot y = ||x|| \cdot ||y|| \cdot \cos(\theta)$$

där \(\theta\) är vinkeln mellan de två vektorerna. De euklidiska normerna av vektorerna \(x\) och \(y\) räknar vi ut först:

$$||x|| = \sqrt{8^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{98}$$
$$||y|| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{49}$$

Insättning ger:

$$49 = \sqrt{98}\sqrt{49}\cos(\theta)$$
$$\Leftrightarrow \cos(\theta) = \frac{49}{\sqrt{98}\sqrt{49}} = \sqrt{\frac{49}{98}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\Leftrightarrow \theta = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\pi}{4}$$

b) Att \(y = u + v\) där \(u\) är parallell med \(x\) och \(v\) är ortogonal mot \(x\) kan sammanfattas med att \(u\) är projiceringen av \(y\) längs \(x\).

$$proj_x y = \frac{x \cdot y}{||x||^2}x = \frac{49}{98}x = \frac{1}{2}(8,-5,3)$$

Eftersom både \(y\) och nu \(u\) är kända kan vi räkna ut \(v\):

$$v = y - u = (2, -3, 6) -\frac{1}{2}(8,-5,3) = \frac{1}{2}(-4,-1,9)$$