Uppgift 10

Vi noterar först att matrisen (vi kallar den \(A\)) är en kvadratisk \(3 \times 3\)-matris. Med 3 kolumner har vi:

$$rang(A) + nolldim(A) = 3$$

Vi börjar med att beräkna determinanten:

$$\det(A) = \left| \begin{matrix} 0 & a & 1 \\ a & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right|$$

$$ = -a(2a - 1)$$

Som är lika med noll om och endast om \(a=0\) eller \(a = 1/2\). För alla andra \(a\) är matrisen inverterbar och därmed är \(rang(A) = 3\) och basen för nollrummet \((0,0,0)\).

För \(a=0\) får vi matrisen

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Med hjälp av Gauss-Jordan-elimination kan vi skriva den på radkanonisk form:

$$ \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Vi ser att antalet nollskilda rader är två, så \(rang(A) = 2\) och därmed är \(nolldim(A) = 1 \). För att hitta en bas för nollrummet löser vi systemet:

$$ Ax = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

som har lösningen \(x = t(1,0,0)\) för någon parameter \(t\), så en bas för nollrummet är \((1,0,0)\).

Det andra alternativet för vilket determinanten är nollskild är \(a=1/2\). Om vi återigen sätter in detta värde på \(a\) och utför Gauss-Jordan-elimination får vi följande radkanoniska matris:

$$A \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Återigen, av samma anledning, är \(rang(A) = 2\) och därmed \(nolldim(A) = 1\). Lösningen på \(Ax=0\) är \(x = t(-10,-2,1)\) för någon parameter \(t\), så en bas för nollrummet är \((-10,-2,1)\).