Uppgift 11

För att $AX$ och $XA$ ska vara definierade måste $X$ vara en $2 \times 2$-matris. Vi låter

$$X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}$$

så ekvationen $AX = XA$ blir:

$$\begin{pmatrix} x_1+2x_3 & x_2+2x_4 \\ x_1 & x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 & 2x_1 \\ x_3+x_4 & 2x_3 \end{pmatrix}$$

vilket kan skrivas om som ekvationssystemet

$$\begin{pmatrix}0 & -1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

som har lösningarna $x_1 = s+t$, $x_2 = 2s$, $x_3 = s$, $x_4 = t$. Därmed har vi svaret:

$$X = \begin{pmatrix} s+t & 2s \\ s & t \end{pmatrix}$$

Matrisen $A$ är diagonaliserbar om båda egenvärden är unika. Vi löser den karakteristiska ekvationen:

$$0 = \det(\lambda I - A) = \left| \begin{matrix} \lambda -1 & -2 \\ -1 & \lambda \end{matrix} \right| = \lambda^2 - \lambda - 2$$

Med lösningarna $\lambda_1 = -1$ och $\lambda_2 = 2$. De är olika och därmed är $A$ diagonaliserbar. Genom att lösa systemet

$$(\lambda_i I - A)v_i = 0$$

får vi respektive egenvektor $v_i$ till varje egenvärde $\lambda_i$, med lösningarna $v_1 = (1, -1)$ och $v_2 = (2,1)$. Se videon för en utförlig beräkning.

Dessa bildar kolonnerna i matrisen $S$, och matrisen $D$ består av egenvärden längs diagonalen.

$$S = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$

$$D = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Dessa två matriser uppfyller:

$$S^{-1}AS = D$$