Uppgift 11
Låt \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
- Finn alla matriser X som kommunterar med A, det vill säga sådant att \(AX = XA\)
- Diagonalisera A om det är möjligt. Visa annars att det inte går.
För att \(AX\) och \(XA\) ska vara definierade måste \(X\) vara en \(2 \times 2\)-matris. Vi låter
$$X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}$$
så ekvationen \(AX = XA\) blir:
$$\begin{pmatrix} x_1+2x_3 & x_2+2x_4 \\ x_1 & x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 & 2x_1 \\ x_3+x_4 & 2x_3 \end{pmatrix}$$
vilket kan skrivas om som ekvationssystemet
$$\begin{pmatrix}0 & -1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
som har lösningarna \(x_1 = s+t\), \(x_2 = 2s\), \(x_3 = s\), \(x_4 = t\). Därmed har vi svaret:
$$X = \begin{pmatrix} s+t & 2s \\ s & t \end{pmatrix}$$
Matrisen \(A\) är diagonaliserbar om båda egenvärden är unika. Vi löser den karakteristiska ekvationen:
$$ 0 = \det(\lambda I - A) = \left| \begin{matrix} \lambda -1 & -2 \\ -1 & \lambda \end{matrix} \right| = \lambda^2 - \lambda - 2$$
Med lösningarna \(\lambda_1 = -1\) och \(\lambda_2 = 2\). De är olika och därmed är \(A\) diagonaliserbar. Genom att lösa systemet
$$(\lambda_i I - A)v_i = 0$$
får vi respektive egenvektor \(v_i\) till varje egenvärde \(\lambda_i\), med lösningarna \(v_1 = (1, -1)\) och \(v_2 = (2,1)\). Se videon för en utförlig beräkning.
Dessa bildar kolonnerna i matrisen \(S\), och matrisen \(D\) består av egenvärden längs diagonalen.
$$S = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$
$$D = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Dessa två matriser uppfyller:
$$S^{-1}AS = D$$
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.