Uppgift 12

Vi använder satsen som beskrivs i uppgiften för att, istället för den stora matrisen $A^TA$ beräkna egenvärden till

$$AA^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Vi beräknar dess egenvärden:

$$\det(AA^T - \lambda I) = \left| \begin{array}{cc} 4-\lambda & 2 \\ 2 & 4-\lambda \end{array} \right|$$

$$= (4-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 8\lambda + 12 = 0$$

Med lösningarna $\lambda_1 = 6$ och $\lambda_2 = 2$.

Resterande egenvärden i den större matrisen $A^TA$ måste vara noll (enligt den angivna satsen).

Med andra ord är egenvärdena till matrisen $A^TA$:

$$\lambda_1 = 6$$
$$\lambda_2 = 2$$
$$\lambda_3 = 0$$

Det sista egenvärdet har multiplicitet $4$.