Uppgift 13

Koefficientmatrisen för systemet är:

$$A = \begin{pmatrix} a+1 & 2 & 1 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Addera rad 3 till rad 2:

$$A = \begin{pmatrix} a+1 & 2 & 1 \\ 0 & a+4 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Subtrahera rad 3 från rad 1:

$$A = \begin{pmatrix} a & -2 & 0 \\ 0 & a+4 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Addera rad 1 till rad 3, två gånger:

$$A = \begin{pmatrix} a & -2 & 0 \\ 0 & a+4 & 0 \\ 1+2a & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Nu har vi en matris med många nollor, och motsvarande ekvationssystem ser ut såhär:

$$\left\{\begin{matrix} ax & - &2y & = & 0\\ & & (a+4)y & = & 0\\ (1+2a)x& + & z & = & 0 \end{matrix}\right.$$

Nu finns det några $a$-värden som är intressanta. Om $a=0$ får vi ur den första ekvationen $0 - 2y = 0 \Rightarrow y=0$, och i den tredje ekvationen $x+z = 0 \Rightarrow x=-z$. Dessa lösningar kan vi skriva som:

$$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

där $t$ är någon godtycklig skalär.

På samma sätt, om $a=-4$, så blir den andra ekvationen $0 \cdot y = 0$ som alltså inte ger någon information. Den första ekvationen ger $-4x -2y = 0 \Rightarrow 2x = -y$, och den tredje ekvationen ger $z = 7x$. Detta kan sammanfattas som:

$$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}$$

För alla andra värden på $a$ får vi från ekvation 2 att $y = 0$, vilket i första ekvationen ger $x=0$ och i tredje $z=0$. Så för $a \neq 0,-4$ har vi:

$$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Detta kan bekräftas genom att beräkna $\det(A)$ = 0, och se att determinanten är nollskild för alla $a\neq0,-4$ och därmed finns en unik lösning till det homogena systemet, som måste vara $(0,0,0)^T$.