Uppgift 14

I skärningspunkten är båda linjernas koordinater lika stora. Vi kan skriva denna likhet på parameterform:

$$\begin{pmatrix}1 - 2t_1 \\ 2 + 3t_1 \\ 3 - 4t_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 + 2t_2 \\ 1 - 2t_2 \\ 4 + 3t_2 \end{pmatrix} $$

där \(t_1\) och \(t_2\) är godtyckliga konstanter. Ekvationen är ekvivalent med:

$$\begin{pmatrix}1-1 \\ 2-1 \\ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2t_1 + 2t_2 \\ -3t_1 - 2t_2 \\ 4t_1 + 3t_2 \end{pmatrix} $$

Ur den första raden kan vi sluta oss till att \(t_1 = -t_2\) och insättning i den andra raden ger \(1 = 2t_1 - 3t_1 = -t_1 \Rightarrow t_1 = -1\).

Det innebär då att \(t_2 = 1\). Så skärningspunkten kan vi räkna ut genom att sätta in \(t=1\) i den ena linjen eller \(t=-1\) i den andra. Då får vi:

$$\begin{pmatrix}1-2\cdot(-1) \\ 2+3\cdot(-1) \\ 3 - 4\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix}$$

I och med att linjerna skär varandra ligger de också i samma plan. Två vektorer som ligger i planet ges direkt från linjernas parameterform, nämligen \((2,-3,4)\) samt \((2,-2,3)\). Normalvektorn till planet kan då beräknas som kryssprodukten av dessa:

$$n = (2,-3,4) \times (2,-2,3) = (-1, 2, 2)$$

Därmed kan vi skriva planets ekvation som

$$-x + 2y + 2z + d = 0$$

för någon konstant \(d\). För att hitta denna sätter vi in en punkt vi vet finns i planet, till exempel punkten \((1,2,3)\) som finns i den första linjen om \(t=0\).

$$-1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + d = 0 \Leftrightarrow d = -9$$

Slutligen kan vi då skriva planets ekvation på affin form, som:

$$-x + 2y + 2z - 9 = 0$$