Uppgift 14

I skärningspunkten är båda linjernas koordinater lika stora. Vi kan skriva denna likhet på parameterform:

$$\begin{pmatrix}1 - 2t_1 \\ 2 + 3t_1 \\ 3 - 4t_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 + 2t_2 \\ 1 - 2t_2 \\ 4 + 3t_2 \end{pmatrix}$$

där $t_1$ och $t_2$ är godtyckliga konstanter. Ekvationen är ekvivalent med:

$$\begin{pmatrix}1-1 \\ 2-1 \\ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2t_1 + 2t_2 \\ -3t_1 - 2t_2 \\ 4t_1 + 3t_2 \end{pmatrix}$$

Ur den första raden kan vi sluta oss till att $t_1 = -t_2$ och insättning i den andra raden ger $1 = 2t_1 - 3t_1 = -t_1 \Rightarrow t_1 = -1$.

Det innebär då att $t_2 = 1$. Så skärningspunkten kan vi räkna ut genom att sätta in $t=1$ i den ena linjen eller $t=-1$ i den andra. Då får vi:

$$\begin{pmatrix}1-2\cdot(-1) \\ 2+3\cdot(-1) \\ 3 - 4\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix}$$

I och med att linjerna skär varandra ligger de också i samma plan. Två vektorer som ligger i planet ges direkt från linjernas parameterform, nämligen $(2,-3,4)$ samt $(2,-2,3)$. Normalvektorn till planet kan då beräknas som kryssprodukten av dessa:

$$n = (2,-3,4) \times (2,-2,3) = (-1, 2, 2)$$

Därmed kan vi skriva planets ekvation som

$$-x + 2y + 2z + d = 0$$

för någon konstant $d$. För att hitta denna sätter vi in en punkt vi vet finns i planet, till exempel punkten $(1,2,3)$ som finns i den första linjen om $t=0$.

$$-1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + d = 0 \Leftrightarrow d = -9$$

Slutligen kan vi då skriva planets ekvation på affin form, som:

$$-x + 2y + 2z - 9 = 0$$