Uppgift 16
Låt C och D vara två inverterbara matriser av samma typ. Visa likheten
$$(CD)^{-1} = D^{-1}C^{-1}$$
Vi använder oss av definitionen av en invers:
$$MM^{-1} = I = M^{-1}M$$
Multiplicera vänster- och högerled med \(CD\):
$$(CD)^{-1}CD = D^{-1}C^{-1}CD$$
I vänsterledet har vi inversen av \(CD\) multiplicerad med \(CD\), vilket alltså är lika med \(I\).
I högerledet kan vi först förenkla produkten \(C^{-1}C\) till \(I\) och sedan detsamma för \(D^{-1}D\), med andra ord:
$$D^{-1}C^{-1}CD = D^{-1}ID = D^{-1}D = I$$
Vi har alltså identitetsmatrisen i båda led, så likheten stämmer, och vi har därmed visat likheten.
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.