Uppgift 17

Notera att rad 3 är en multipel av rad 2. Vi börjar därför med att subtrahera 2 gånger rad 2 från rad 3, och får:

$$A \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1\\ 1 & 2 & 1 & 1\\ 0& 0 &0 &0 \end{pmatrix}$$

Subtrahera sedan rad 1 från rad 2:

$$\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1\\ 0 & 1 & -2 & 2\\ 0& 0 &0 &0 \end{pmatrix}$$

Detta är nu en trappstegsmatris, men för att förenkla lite till kan vi subtrahera rad 2 från rad 1

$$\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & -3\\ 0 & 1 & -2 & 2\\ 0& 0 &0 &0 \end{pmatrix}$$

som nu är på radkanonisk form. För att hitta basvektorer för nollrummet löser vi systemet $Ax=0$, alltså:

$$x_1 + 5x_3 = 3x_4$$
$$-x_2 + 2x_3 = 2x_4$$

Vi har fyra variabler, men bara två ekvationer. Vi behöver alltså två parametrar och kallar $x_3 = s$ och $x_4 = t$. Då ger den första ekvationen

$$x_1 + 5s = 3t \Leftrightarrow x_1 = 3t - 5s$$

och den andra ekvationen ger:

$$-x_2 + 2s = 2t \Leftrightarrow x_2 = 2s - 2t$$

Därmed har vi lösningen till systemet:

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t-5s \\ 2s-2t \\ s \\ t \end{pmatrix}$$

$$= s\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Så de ovanstående två vektorerna $(-5,2,1,0)$ och $(3,-2,0,1)$ utgör en bas till nollrummet, och eftersom de är två till antalet är dimensionen av nollrummet $nolldim(A) = 2$.

Eftersom vi har två nollskilda rader i den radkanoniska matrisen ekvivalent med $A$, så är även rangen av matrisen $rang(A) = 2$.