Uppgift 3
Lös matrisekvationen \(\left ( XA^{2} \right )^{-1}= A^{-1}B^{-1}\) där,
$$A =\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \, \text{och} \, B=\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$
Ekvationen kan förenklas:
$$(A^2)^{-1}X^{-1} = A^{-1}B^{-1}$$
Multiplicera med \(A\) från vänster:
$$A^{-1}X^{-1} = B^{-1}$$
Multiplicera med \(X\) från höger:
$$A^{-1} = B^{-1}X$$
Och slutligen multiplicera med \(B\) från vänster:
$$BA^{-1} = X$$
Vi har \(B\), så det som återstår är att beräkna inversen av \(A\). Vi gör det med Jacobis metod:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
Genom att göra Gauss-Jordan-elimination på matrisen till vänster tills den blir identitetsmatrisen, så kommer vi få \(A^{-1}\) till höger.
Börja med att byta plats på rad 1 och rad 3:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$$
Subtrahera bort rad 1 från rad 2, och sedan rad 1 och 2 från rad 3.
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)$$
Vilket ger oss svaret:
$$X = BA^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -2 & 4 & -1\\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{pmatrix}$$
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.