Uppgift 3

Ekvationen kan förenklas:

$$(A^2)^{-1}X^{-1} = A^{-1}B^{-1}$$

Multiplicera med $A$ från vänster:

$$A^{-1}X^{-1} = B^{-1}$$

Multiplicera med $X$ från höger:

$$A^{-1} = B^{-1}X$$

Och slutligen multiplicera med $B$ från vänster:

$$BA^{-1} = X$$

Vi har $B$, så det som återstår är att beräkna inversen av $A$. Vi gör det med Jacobis metod:

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

Genom att göra Gauss-Jordan-elimination på matrisen till vänster tills den blir identitetsmatrisen, så kommer vi få $A^{-1}$ till höger.

Börja med att byta plats på rad 1 och rad 3:

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

Subtrahera bort rad 1 från rad 2, och sedan rad 1 och 2 från rad 3.

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)$$

Vilket ger oss svaret:

$$X = BA^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -2 & 4 & -1\\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{pmatrix}$$