Uppgift 4

Ursprungsvektorerna bildar kolumnerna i matrisen

$$U = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$

och de avbildade vektorerna bildar kolumnterna i matrisen

$$U_F = \begin{pmatrix} -4 & -2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

För en avbildningsmatris $A_F$ gäller då:

$$A_FU = U_F$$

Genom att multiplicera med inversen av $U$ från höger erhåller vi ekvationen:

$$A_F = U_FU^{-1}$$

Eftersom $U_F$ är känd måste vi först bara beräkna inversen av $U$, eftersom det är en $2 \times 2$-matris kan vi göra det direkt utan Jacobis metod:

$$U^{-1} = \frac{1}{\det(U)} \begin{pmatrix} -1 & -2\\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & -4 \end{pmatrix}$$

Observera att vi bytte tecken på alla element i matrisen eftersom $\det(U) = -10$.

Och slutligen beräknar vi produkten

$$A_F = U_FU^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -4 & -2\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & -4 \end{pmatrix}$$ $$= \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -10 & 0\\ 10 & -10 \end{pmatrix}$$

vilket förenklas till:

$$A_F = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$