Uppgift 5

a) Den kvadratisk matris \(A\) är diagonaliserbar om och endast om det finns en matris \(P\) så att $$P^{-1}AP = D$$ där \(D\) är en diagonalmatris, det vill säga bara har nollskilda element längs huvuddiagonalen.

b) För att diagonalisera \(A\) hittar vi matrisens egenvärden. Om de alla är unika så är \(A\) diagonaliserbar.

$$\det(A - \lambda I) = 0 \Leftrightarrow \left| \begin{array}{cc} \frac{4}{7} - \lambda & \frac{3}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{4}{7} - \lambda \end{array} \right| = 0$$

$$\Leftrightarrow \lambda^2 - \frac{8}{7}\lambda + \frac{7}{49} = 0$$

Med lösningarna \(\lambda_1 = 1\) och \(\lambda_2 = \frac{1}{7}\). Det ger diagonalmatrisen:

$$ D= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1}{7} \end{pmatrix}$$

När vi har egenvärdena till \(A\) kan vi också beräkna egenvektorerna till \(A\) genom att, för \(\lambda_1\) och \(\lambda_2\), hitta en vektor som löser

$$(A - \lambda I)v = 0$$

vilket är \(v_1 = (1,1)^T\) och \(v_2 = (1,-1)^T\). Dessa är kolonner i matrisen

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

vars invers är:

$$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Nu kan vi utnyttja att:

$$A^n = PDP^{-1} \cdot PDP^{-1} \cdot \dots \cdot PDP^{-1}$$

$$= PD \cdot I \cdot D \cdot I \cdot D \cdot \dots \cdot P^{-1}$$

$$= PD^nP^{-1}$$

Och eftersom \(D\) är en diagonalmatris är det lätt att beräkna:

$$D^n = \begin{pmatrix} 1^n & 0\\ 0 & \left(\frac{1}{7}\right)^n \end{pmatrix}$$

I och med detta har vi:

$$\lim_{n \to \infty}D^n = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Och vi kan hitta svaret:

$$\lim_{n \to \infty}A^n = P \cdot \lim_{n \to \infty}D^n \cdot P^{-1}$$

$$ = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

$$ = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$