Uppgift 5

a) Den kvadratisk matris $A$ är diagonaliserbar om och endast om det finns en matris $P$ så att

$$P^{-1}AP = D$$ där $D$ är en diagonalmatris, det vill säga bara har nollskilda element längs huvuddiagonalen.

b) För att diagonalisera $A$ hittar vi matrisens egenvärden. Om de alla är unika så är $A$ diagonaliserbar.

$$\det(A - \lambda I) = 0 \Leftrightarrow \left| \begin{array}{cc} \frac{4}{7} - \lambda & \frac{3}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{4}{7} - \lambda \end{array} \right| = 0$$

$$\Leftrightarrow \lambda^2 - \frac{8}{7}\lambda + \frac{7}{49} = 0$$

Med lösningarna $\lambda_1 = 1$ och $\lambda_2 = \frac{1}{7}$. Det ger diagonalmatrisen:

$$D= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1}{7} \end{pmatrix}$$

När vi har egenvärdena till $A$ kan vi också beräkna egenvektorerna till $A$ genom att, för $\lambda_1$ och $\lambda_2$, hitta en vektor som löser

$$(A - \lambda I)v = 0$$

vilket är $v_1 = (1,1)^T$ och $v_2 = (1,-1)^T$. Dessa är kolonner i matrisen

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

vars invers är:

$$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Nu kan vi utnyttja att:

$$A^n = PDP^{-1} \cdot PDP^{-1} \cdot \dots \cdot PDP^{-1}$$

$$= PD \cdot I \cdot D \cdot I \cdot D \cdot \dots \cdot P^{-1}$$

$$= PD^nP^{-1}$$

Och eftersom $D$ är en diagonalmatris är det lätt att beräkna:

$$D^n = \begin{pmatrix} 1^n & 0\\ 0 & \left(\frac{1}{7}\right)^n \end{pmatrix}$$

I och med detta har vi:

$$\lim_{n \to \infty}D^n = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Och vi kan hitta svaret:

$$\lim_{n \to \infty}A^n = P \cdot \lim_{n \to \infty}D^n \cdot P^{-1}$$

$$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

$$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$