Uppgift 6
Låt \(\pi\) beteckna ett plan i rummet som går genom origo och har normalvektorn \(N\). Ange en formel för avbildningsmatrisen \(A\) för spegling i planet \(\pi\). Beräkna dessutom \(A^{2012}\) och \(A^{-1}\). (Man kan anta att normalvektorn har längden ett, dvs. \(N^TN=1\))
Vi använder oss av följande formel för avbildningsmatrisen:
$$A = I - \frac{2NN^T}{N^TN}$$
Vi använder \(N^TN = 1\) för att förenkla detta till:
$$A = I - 2NN^T$$
Utifrån det här kan vi beräkna \(A^{2012}\). Vi börjar med att beräkna \(A^2\):
$$A^2 = (I-2NN^T)(I-2NN^T)$$ $$= I - 2NN^T - 2NN^t + 4NN^TNN^T$$
Vilket förenklas till
$$A^2 = I$$
vilket vi kan använda för att beräkna:
\(A^{2012} = (A^2)^{1006} = I^{1006} = I\)
Enligt definitionen av en invers vet vi att
$$A^{-1} \cdot A = I$$
men eftersom \(I = A^2\) kan vi skriva detta som:
$$A^{-1} \cdot A = A \cdot A$$
och därmed har vi \(A^{-1} = A\), och vi är klara.
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.