Uppgift 6

Låt $\pi$ beteckna ett plan i rummet som går genom origo och har normalvektorn $N$ . Ange en formel för avbildningsmatrisen $A$ för spegling i planet $\pi$ . Beräkna dessutom $A^{2012}$ och $A^{-1}$ . (Man kan anta att normalvektorn har längden ett, dvs. $N^TN=1$ )

Vi använder oss av följande formel för avbildningsmatrisen:

$A = I - \frac{2NN^T}{N^TN}$

Vi använder $N^TN = 1$ för att förenkla detta till:

$A = I - 2NN^T$

Utifrån det här kan vi beräkna $A^{2012}$ . Vi börjar med att beräkna $A^2$ :

$A^2 = (I-2NN^T)(I-2NN^T)$

$= I - 2NN^T - 2NN^t + 4NN^TNN^T$

Vilket förenklas till

$A^2 = I$

vilket vi kan använda för att beräkna:

$A^{2012} = (A^2)^{1006} = I^{1006} = I$

Enligt definitionen av en invers vet vi att

$A^{-1} \cdot A = I$

men eftersom $I = A^2$ kan vi skriva detta som:

$A^{-1} \cdot A = A \cdot A$

och därmed har vi $A^{-1} = A$ , och vi är klara.

Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.

Gör uppgifter Visa alla 3 uppgifter

Har du en fråga du vill ställa om Uppgift 6? Ställ den på Pluggakuten.se

Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se