Uppgift 7
Låt \(\pi_1 : x + 2y + 3z = 0\) och \(\pi_2 : x + 2y + 3z + 1 = 0\) vara två plan i rummet. Avgör vilka av påståendena P1–P5 nedan som är sanna respektive falska.
P1: \(n = (2, 4, 6)\) utgör en normal till \(\pi_1\).
P2: \(\pi_1\) och \(\pi_2\) skär varandra längs en linje.
P3: \((x, y, z) = (1, 1, −1) +s(1, 1, −1) + t(−5, 4, −1)\), där \(s, t \in \mathbb R\) beskriver \(\pi_2\) på parameterform.
P4: Att spegla punkter i planet \(\pi_1\) utgör en linjär avbildning.
P5: Att projicera punkter ortogonalt ner i planet \(\pi_2\) utgör en linjär avbildning.
P1) Sant. En normalvektor till \(\pi_1\) är \((a,b,c) = (1,2,3)\), och denna är parallell med den angivna vektorn \((2,4,6)\) eftersom \((2,4,6) = 2 \cdot (1,2,3)\).
P2) Falskt. Planen är parallella eftersom de har samma normalvektor.
P3) Falskt. Om \(s=t=0\) har vi punkten \((1,1,-1)\) som ligger i planet som är angett på parameterform. Men insättning i ekvationen för \(\pi_2\) ger \(1 + 2\cdot 1 + 3 \cdot (-1) = 1+2-3 = 0 \neq 1\) och uppfyller därmed inte ekvationen.
P4) Sant, planet innehåller origo.
P5) Falskt, planet innehåller inte origo.
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.