Uppgift 7
Låt π1:x+2y+3z=0 och π2:x+2y+3z+1=0 vara två plan i rummet. Avgör vilka av påståendena P1–P5 nedan som är sanna respektive falska.
P1: n=(2,4,6) utgör en normal till π1.
P2: π1 och π2 skär varandra längs en linje.
P3: (x,y,z)=(1,1,−1)+s(1,1,−1)+t(−5,4,−1), där s,t∈R beskriver π2 på parameterform.
P4: Att spegla punkter i planet π1 utgör en linjär avbildning.
P5: Att projicera punkter ortogonalt ner i planet π2 utgör en linjär avbildning.
P1) Sant. En normalvektor till π1 är (a,b,c)=(1,2,3), och denna är parallell med den angivna vektorn (2,4,6) eftersom (2,4,6)=2⋅(1,2,3).
P2) Falskt. Planen är parallella eftersom de har samma normalvektor.
P3) Falskt. Om s=t=0 har vi punkten (1,1,−1) som ligger i planet som är angett på parameterform. Men insättning i ekvationen för π2 ger 1+2⋅1+3⋅(−1)=1+2−3=0≠1 och uppfyller därmed inte ekvationen.
P4) Sant, planet innehåller origo.
P5) Falskt, planet innehåller inte origo.
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.