Homogena differentialekvationer

Tidigare i det här kapitlet har vi repeterat vad en differentialekvation är, hur vi kan verifiera att en funktion är en lösning till en differentialekvation och hur vi i vissa fall kan finna en lösning genom att beräkna primitiva funktioner.

I det här avsnittet ska vi lära oss vad en linjär homogen differentialekvation är och i vilken form lösningar till linjära homogena differentialekvationer av första ordningen alltid kommer att stå.

Linjära homogena differentialekvationer av första ordningen

När vi i det här kapitlets första avsnitt repeterade vad en differentialekvation är, tog vi upp ett exempel med tillväxttakten i en bakterieodling. Om tillväxttakten i bakterieodlingen kan anses vara proportionell mot antalet bakterier, då kan vi formulera detta samband med följande differentialekvation:

$$y'(x)=k\cdot y(x)$$

där tillväxttakten y'(x) beror på antalet bakterier y(x) multiplicerat med en viss proportionalitetskonstant k. Att tolka det samband som denna differentialekvation beskriver är nog enklast när ekvationen är skriven på detta sätt.

Men genom att samla termerna i denna differentialekvation i det vänstra ledet kan vi även skriva om ekvationen på formen

$$y'(x)-k\cdot y(x)=0$$

Här ser vi att de båda termerna i det vänstra ledet innehåller antingen funktionen y(x) eller en derivata av denna funktion.

Om vi kan skriva en differentialekvation av första ordningen på formen

$$y'+a\cdot y=0$$

där y är en funktion av någon variabel, y' är dess förstaderivata och a är en konstant, kallar vi denna differentialekvation en linjär homogen differentialekvation av första ordningen. Att denna differentialekvation kallas homogen beror på att den enbart innehåller termer där funktionen y eller någon av dess derivator är en faktor. Den kallas linjär eftersom den bara har konstanter som koefficienter (i detta fall koefficienten 1 framför y' och a framför y).

Linjära homogena differentialekvationer av första ordningen som är skrivna på den form som vi visat ovan har allmänna lösningar på formen

$$y=C\cdot{e}^{-ax}$$

där C och a är konstanter, och x är den oberoende variabeln.

Hitta den allmänna lösningen till differentialekvationen

$$y'-8y=0$$

Det här är en linjär homogen differentialekvation av första ordningen och den står redan på den önskade formen.

Därför kommer den att ha den allmänna lösningen

$$y=C\cdot {e}^{-(-8)x}=C\cdot {e}^{8x}$$

Hitta den allmänna lösningen till differentialekvationen

$$3y'=-12y$$

och sedan den lösning som uppfyller villkoret $$y(0) = 8$$

Vårt första steg mot en lösning blir att skriva om denna differentialekvation på den allmänna formen

$$y'+a\cdot y=0$$

där a är en konstant. Det gör vi genom att vi samlar termerna i det vänstra ledet, så att det högra ledet blir lika med noll:

$$3y'+12y=0$$

För att vår differentialekvation ska stå på den önskade formen ska vi ha en etta som koefficient framför y'-termen. Därför dividerar vi hela ekvationen med 3 och får följande differentialekvation

$$y'+4y=0$$

Den allmänna lösningen till denna differentialekvation är

$$y=C\cdot {e}^{-4x}$$

eftersom 4 är koefficienten framför y-termen i differentialekvationen när den står skriven på denna form. Detta är även den allmänna lösningen till vår ursprungliga differentialekvation, vilket vi kan verifiera på liknande sätt som vi gjorde i det inledande avsnittet om differentialekvationer.

Förutom denna allmänna lösningen är vi även intresserade av den lösning till differentialekvationen som uppfyller villkoret y(0) = 8. Denna lösning kan vi nu finna genom att sätta in värdena x = 0 och y = 8 i den allmänna lösningen, och därigenom bestämma värdet på konstanten C:

$$8=C\cdot {e}^{-4\cdot 0}=C\cdot {e}^{0}=C\cdot 1=C$$

$$C=8$$

Den lösning som uppfyller villkoret y(0) = 8 är alltså

$$y=8{e}^{-4x}$$